A reação B \rightarrow C é de primeira ordem. A meia-vida da reação a uma dada temperatura é de 300 s .
a) Calcule a constante de velocidade k.
b) Qual será a concentração de B após 900 s , se a concentração inicial for 0,60 \mathrm{mol} / \mathrm{L} ?
c) Após quanto tempo a concentração de B será 0,075 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} ?

Passo 1

O enunciado dá uma reação B \rightarrow C com meia-vida t_{1/2}=300\\ \text{s} e pede três coisas:
a) Calcular a constante de velocidade k.
b) Determinar a concentração de B após 900\\ \text{s}, sabendo que a concentração inicial é [B]_0=0,60\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}.
c) Calcular o tempo necessário para que [B]=0,075\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}, com a mesma concentração inicial [B]_0=0,60\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}.

Passo 2

Para começar, vamos montar a equação diferencial que descreve a cinética de ordem um e resolvê-la passo a passo (isso é o que normalmente se usa em provas). A lei diferencial para uma reação de primeira ordem, escrita para a concentração [B](t), é
-\frac{d[B]}{dt} = k\,[B](t).
Aqui [B](t) é a concentração de B no tempo t e k é a constante de velocidade (unidade de k será \text{s}^{-1} porque o tempo está em segundos).
Separe variáveis e integre:
\frac{d[B]}{[B]} = -k\,dt.
Integre dos limites [B]_0 em t=0 até [B](t) em t:
\int_{[B]_0}^{[B](t)} \frac{d[B]}{[B]} = -\int_{0}^{t} k\,dt.
A integral do lado esquerdo dá logaritmo natural; do lado direito sai -kt. Portanto:
\ln\!\left(\frac{[B](t)}{[B]_0}\right) = -kt.
Isolando [B](t) obtemos a lei integrada da primeira ordem:
[B](t) = [B]_0\,e^{-kt}.
Essa fórmula é chave: ela diz como a concentração decai exponencialmente com taxa k.

Passo 3

Agora derivamos a fórmula da meia-vida a partir da lei integrada (útil para a parte a). A meia-vida t_{1/2} é o tempo para [B] cair para metade de [B]_0. Coloque [B](t_{1/2})=\tfrac{1}{2}[B]_0 na lei integrada:
\tfrac{1}{2}[B]_0 = [B]_0\,e^{-k t_{1/2}}.
Cancele [B]_0 (presume-se diferente de zero) e aplique logaritmo:
\frac{1}{2} = e^{-k t_{1/2}} \quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -k t_{1/2}.
Como \ln(\tfrac{1}{2})=-\ln 2, temos a fórmula padrão:
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.
Dessa expressão podemos isolar k:
k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}.

Passo 4

Resolvendo a parte (a): calcular k usando t_{1/2}=300\\ \text{s}.
k = \frac{\ln 2}{300\\ \text{s}}.
Calcule numericamente: \ln 2 \approx 0,693147, então
k \approx \frac{0,693147}{300\\ \text{s}} \approx 0,00231049\\ \text{s}^{-1}.
Arredondando de forma adequada para três algarismos significativos:
k \approx 0,00231\\ \text{s}^{-1}.

Passo 5

Resolvendo a parte (b): usar a lei integrada [B](t)=[B]_0 e^{-kt} para t=900\\ \text{s} e [B]_0=0,60\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}. Substitua k calculado:
[B](900) = 0,60\,e^{-0,00231049\cdot 900}.
Calcule o expoente:
-0,00231049\times 900 \approx -2,07944.
Então
e^{-2,07944} \approx 0,125.
Multiplicando:
[B](900) \approx 0,60\times 0,125 = 0,075\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}.
Observação prática (útil na prova): 900\\ \text{s} corresponde a 3 meias-vidas ( 900/300=3), então a concentração é [B]_0(1/2)^3 = 0,60\times\tfrac{1}{8}=0,075\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}. Esse é um atalho rápido.

Passo 6

Resolvendo a parte (c): encontrar t tal que [B](t)=0,075\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1} com [B]_0=0,60\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}. Use a forma:
[B](t) = [B]_0\,e^{-kt} \quad\Rightarrow\quad e^{-kt} = \frac{[B](t)}{[B]_0}.
Aplique logaritmo e isole t:
-kt = \ln\!\left(\frac{[B](t)}{[B]_0}\right) \quad\Rightarrow\quad t = -\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{[B](t)}{[B]_0}\right).
Substitua os números:
t = -\frac{1}{0,00231049}\ln\!\left(\frac{0,075}{0,60}\right).
Calcule a razão dentro do logaritmo:
\frac{0,075}{0,60} = 0,125.
Então
\ln(0,125) = \ln\!\left(\tfrac{1}{8}\right) = -\ln 8 \approx -2,07944.
Portanto
t = -\frac{1}{0,00231049}\times(-2,07944) \approx \frac{2,07944}{0,00231049} \approx 900\\ \text{s}.
Isso confirma o resultado da parte (b): leva 900\\ \text{s} para a concentração chegar a 0,075\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (curtas e práticas): lembrar da lei integrada [B](t)=[B]_0 e^{-kt} e da relação t_{1/2}=\ln 2/k. Para múltiplos de meias-vidas use (1/2)^n como atalho. Se precisar isolar t, use t = -\frac{1}{k}\ln([B](t)/[B]_0).

Resposta

(a) k \approx 0,00231\\ \text{s}^{-1}
(b) [B](900\\ \text{s}) = 0,075\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}
(c) t = 900\\ \text{s}

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