A reação 2 A \rightarrow B+C segue uma cinética elementar catalisada por sólido. A reação, em fase gasosa, é conduzida em um reator batelada com volume de 1 \mathrm{dm}^{3} preenchido com 1 kg de catalisador. A constante de velocidade da reação é k =0,01 \mathrm{dm}^{6} \cdot \mathrm{~kg}_{\text {cat }}{ }^{-1} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \cdot \mathrm{~min}^{-1} e 10 mols de A são introduzidos, inicialmente, no reator. Qual a conversão obtida após 20 min de operação neste reator?

Passo 1

O enunciado trata de uma reação elementar em batelada catalisada por sólido, 2A \to B + C. O reator tem V = 1 \mathrm{dm}^3 e contém 1 \mathrm{kg} de catalisador. A constante de velocidade é k = 0,01 \mathrm{dm}^6 \mathrm{kg}_{\text{cat}}^{-1} \mathrm{mol}^{-1} \mathrm{min}^{-1} e a quantidade inicial de A é n_{A0} = 10 \mathrm{mol}, o que dá a concentração inicial
C_{A0} = \frac{n_{A0}}{V} = 10\\ \mathrm{mol.dm}^{-3}.
Queremos a conversão após t = 20 \mathrm{min}.

Passo 2

Como a reação é elementar heterogênea, a taxa de consumo de A obedece
-\frac{dC_A}{dt} = k\,W\,C_A^2
onde W = 1\,\mathrm{kg} é a massa de catalisador.

Passo 3

Separamos variáveis e integramos de C_{A0} a C_A no intervalo de 0 a t:
\int_{C_{A0}}^{C_A}\frac{dC_A}{C_A^2} = -\,k\,W\int_{0}^{t}dt
o que leva a
\frac{1}{C_A} - \frac{1}{C_{A0}} = k\,W\,t
e, portanto,
C_A = \frac{1}{\frac{1}{C_{A0}} + k\,W\,t}.

Passo 4

Substituindo C_{A0}=10 \mathrm{mol.dm}^{-3}, k=0,01, W=1 e t=20 \mathrm{min}:
\frac{1}{C_A} = \frac{1}{10} + 0{,}01\cdot1\cdot20 = 0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}3
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C_A = \frac{1}{0{,}3} = 3{,}333\\ \mathrm{mol.dm}^{-3}.
Como V=1 \mathrm{dm}^3, fica n_A = 3{,}333 \mathrm{mol}. A conversão é
X = \frac{n_{A0} - n_A}{n_{A0}} = \frac{10 - 3{,}333}{10} = 0{,}6667.

Resposta

A conversão após 20 \mathrm{min} é X = 0{,}667 (ou 66{,}7\%).

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