(5)(3,0) A reação de síntese \mathrm{A}+\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C} tem taxa de reação dada pela seguinte expressão:
\left(-r_{A}\right)=\frac{k C_{A} C_{B}}{\left(1+K_{A} C_{A}\right)^{2}}
A reação é realizada em um reator batelada a volume constante partindo dos reagentes em proporção estequiométrica, numa condição operacional em que \mathrm{C}_{\mathrm{A} 0}=6 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}, \mathrm{k}=0,05 \mathrm{~L} /(\mathrm{mol} . \mathrm{min}) e \mathrm{K}_{\mathrm{A}}=0,5 \mathrm{L} / \mathrm{mol}. Pede-se: (a) estabelecer a expressão do tempo de reação em função da conversão de \mathrm{A}\left(\mathrm{X}_{\mathrm{A}}\right); e, (b) calcular o tempo de meia-vida de A.

Passo 1

O que o enunciado nos pede e os dados que ele fornece:
  • Pede (a) estabelecer a expressão do tempo de reação em função da conversão de A, X_A; e (b) calcular o tempo de meia-vida de A (tempo para X_A=0,5).
  • Dados do problema (pegos do enunciado):
    • Lei de taxa (taxa de consumo de A): \left(-r_{A}\right)=\frac{k\,C_{A}\,C_{B}}{\left(1+K_{A}C_{A}\right)^{2}}
    • Reator batelada, volume constante, reagentes em proporção estequiométrica (1:1).
    • C_{A0}=6\\ \mathrm{mol/L}.
    • k=0,05\\ \mathrm{L/(mol\cdot min)}.
    • K_{A}=0,5\\ \mathrm{L/mol}.
Observação importante (para usar nos passos seguintes): por proporção estequiométrica C_{B0}=C_{A0}. Não se resolve nada ainda aqui, só foram listadas as perguntas e os dados.

Passo 2

Definir conversão e relacionar concentrações com X_A.
  • Definição de conversão de A: X_A=\frac{C_{A0}-C_A}{C_{A0}}.Isso significa que a concentração de A em qualquer instante é C_A=C_{A0}(1-X_A).Como a reação consome A e B 1:1 (estequiométrico) e C_{B0}=C_{A0}, a concentração de B varia da mesma forma: C_B=C_{B0}(1-X_A)=C_{A0}(1-X_A).
Explicação didática curta: conversão é a fração de A consumida. Em batelada, sem entrada/saída, a perda de A é diretamente traduzida em X_A; com reação 1:1, B decai na mesma razão.

Passo 3

Expressar a taxa de reação em função de X_A.
  • Substituindo C_A e C_B na expressão dada da taxa (usamos \left(-r_A\right) como taxa positiva de consumo): \left(-r_A\right)=\frac{k\,C_A\,C_B}{\left(1+K_A C_A\right)^2} =\frac{k\,[C_{A0}(1-X_A)]\,[C_{A0}(1-X_A)]}{\big(1+K_A C_{A0}(1-X_A)\big)^2}.
  • Simplificando: \left(-r_A\right)=k\,C_{A0}^2\frac{(1-X_A)^2}{\big(1+ a(1-X_A)\big)^2},onde foi útil definir a\equiv K_A C_{A0} para simplificar a escrita.
Explicação didática: é comum definir constantes compostas (como a) para deixar as expressões mais manejáveis; aqui a é adimensional.

Passo 4

Relacionar taxa com derivada de conversão e obter dt/dX_A.
  • Balanço de material para batelada (volume constante): \frac{dC_A}{dt}=-\left(-r_A\right)=-r_A^{\text{(consumo)}},onde \left(-r_A\right) é a taxa positiva de consumo usada acima. Usando a definição de X_A: \frac{dX_A}{dt}=-\frac{1}{C_{A0}}\frac{dC_A}{dt}=\frac{\left(-r_A\right)}{C_{A0}}.
  • Portanto \frac{dt}{dX_A}=\frac{C_{A0}}{\left(-r_A\right)}.
  • Substituindo a expressão de \left(-r_A\right) em função de X_A: \frac{dt}{dX_A}=\frac{C_{A0}}{k\,C_{A0}^2}\cdot\frac{\big(1+ a(1-X_A)\big)^2}{(1-X_A)^2}.Cancelando um C_{A0}: \frac{dt}{dX_A}=\frac{1}{k\,C_{A0}}\cdot\frac{\big(1+ a(1-X_A)\big)^2}{(1-X_A)^2}.
Explicação didática: a relação dt/dX_A é muito usada para reatores em termos de conversão — integra-se essa relação de 0 a X_A para obter o tempo correspondente.

Passo 5

Integrar para obter t como função de X_A.
  • O tempo para atingir uma conversão X_A é a integral de dt/dX_A de 0 até X_A: t(X_A)=\int_{0}^{X_A}\frac{dt}{dX_A}\,dX_A =\frac{1}{k\,C_{A0}}\int_{0}^{X_A}\frac{\big(1+ a(1-X)\big)^2}{(1-X)^2}\,dX,onde substituímos o argumento por X na integral para não confundir diferencial.
  • Mudança de variável útil: seja u=1-X, então du=-dX. Quando X=0 tem u=1; quando X=X_A tem u=1-X_A. Assim a integral vira (invertendo limites para eliminar o sinal): t(X_A)=\frac{1}{k\,C_{A0}}\int_{u=1-X_A}^{1}\frac{(1+au)^2}{u^2}\,du.
  • Expandir o integrando: \frac{(1+au)^2}{u^2}=\frac{1+2au+a^2u^2}{u^2}=\frac{1}{u^2}+\frac{2a}{u}+a^2.
  • Integrando termo a termo: \int\left(\frac{1}{u^2}+\frac{2a}{u}+a^2\right)du=-\frac{1}{u}+2a\ln u + a^2 u + C.
  • Avaliando entre u=1-X_A e u=1: t(X_A)=\frac{1}{k\,C_{A0}}\Bigg[\Big(-\frac{1}{u}+2a\ln u + a^2 u\Big)_{u=1-X_A}^{u=1}\Bigg].
  • Calculando a diferença e simplificando (lembrar que \ln 1=0): t(X_A)=\frac{1}{k\,C_{A0}}\Bigg(\frac{1}{1-X_A}-1-2a\ln(1-X_A)+a^2 X_A\Bigg),onde \;a=K_A C_{A0}.
Explicação didática: a integral foi simplificada com a substituição u=1-X e pela expansão do quadrado; cada termo gerou uma integral elementar conhecida ( \int u^{-2}du, \int u^{-1}du, \int du).

Passo 6

Aplicar os números do enunciado e calcular o tempo de meia-vida ( X_A=0,5).
  • Primeiro calcule a=K_A C_{A0}: a=K_A C_{A0}=0,5\cdot 6=3.
  • A expressão encontrada para t(X_A) foi: t(X_A)=\frac{1}{k\,C_{A0}}\Bigg(\frac{1}{1-X_A}-1-2a\ln(1-X_A)+a^2 X_A\Bigg).
  • Para a meia-vida, coloque X_A=0,5. Calcule passo a passo:
    • \displaystyle \frac{1}{1-X_A}=\frac{1}{1-0,5}=\frac{1}{0,5}=2.
    • \displaystyle -1 fica -1.
    • \displaystyle -2a\ln(1-X_A)=-2\cdot 3\cdot \ln(0,5)=-6\ln(0,5). Como \ln(0,5)=-\ln 2\approx-0,693147, tem -6\ln(0,5)\approx -6(-0,693147)=4,158882.
    • \displaystyle a^2 X_A=3^2\cdot 0,5=9\cdot 0,5=4,5.
    • Somando os termos internos: 2-1+4,158882+4,5=9,658882.
    • Fator multiplicador: \displaystyle\frac{1}{k\,C_{A0}}=\frac{1}{0,05\cdot 6}=\frac{1}{0,30}=3,\overline{3}.
    • Logo t_{1/2}=3{,}\overline{3}\times 9{,}658882\approx 32{,}1963\\ \text{min}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais): t_{1/2}\approx 32{,}20\\ \text{min}.

Resposta

t(X_A)=\frac{1}{k\,C_{A0}}\Bigg(\frac{1}{1-X_A}-1-2\,\big(K_A C_{A0}\big)\ln(1-X_A)+(K_A C_{A0})^2 X_A\Bigg)
t_{1/2}\approx 32{,}20\\ \text{min}

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