A reação de síntese
tem taxa de reação dada pela seguinte expressão:
A reação é realizada em um reator batelada a volume constante partindo dos reagentes em proporção estequiométrica, numa condição operacional em que
e
. Pede-se: (a) estabelecer a expressão do tempo de reação em função da conversão de
; e, (b) calcular o tempo de meia-vida de A.
Passo 1
O que o enunciado nos pede e os dados que ele fornece:
- Pede (a) estabelecer a expressão do tempo de reação em função da conversão de A,
; e (b) calcular o tempo de meia-vida de A (tempo para ). - Dados do problema (pegos do enunciado):
- Lei de taxa (taxa de consumo de A):
- Reator batelada, volume constante, reagentes em proporção estequiométrica (1:1).
-
. -
. -
.
- Lei de taxa (taxa de consumo de A):
Observação importante (para usar nos passos seguintes): por proporção estequiométrica
. Não se resolve nada ainda aqui, só foram listadas as perguntas e os dados.
Passo 2
Definir conversão e relacionar concentrações com
.
- Definição de conversão de A:
Isso significa que a concentração de A em qualquer instante é Como a reação consome A e B 1:1 (estequiométrico) e , a concentração de B varia da mesma forma:
Explicação didática curta: conversão é a fração de A consumida. Em batelada, sem entrada/saída, a perda de A é diretamente traduzida em
; com reação 1:1, B decai na mesma razão.
Passo 3
Expressar a taxa de reação em função de
.
- Substituindo
e na expressão dada da taxa (usamos como taxa positiva de consumo): - Simplificando:
onde foi útil definir para simplificar a escrita.
Explicação didática: é comum definir constantes compostas (como
) para deixar as expressões mais manejáveis; aqui
é adimensional.
Passo 4
Relacionar taxa com derivada de conversão e obter
.
- Balanço de material para batelada (volume constante):
onde é a taxa positiva de consumo usada acima. Usando a definição de : - Portanto
- Substituindo a expressão de
em função de : Cancelando um :
Explicação didática: a relação
é muito usada para reatores em termos de conversão — integra-se essa relação de
a
para obter o tempo correspondente.
Passo 5
Integrar para obter
como função de
.
- O tempo para atingir uma conversão
é a integral de de até : onde substituímos o argumento por na integral para não confundir diferencial. - Mudança de variável útil: seja
, então . Quando tem ; quando tem . Assim a integral vira (invertendo limites para eliminar o sinal): - Expandir o integrando:
- Integrando termo a termo:
- Avaliando entre
e : - Calculando a diferença e simplificando (lembrar que
): onde .
Explicação didática: a integral foi simplificada com a substituição
e pela expansão do quadrado; cada termo gerou uma integral elementar conhecida (
,
,
).
Passo 6
Aplicar os números do enunciado e calcular o tempo de meia-vida (
).
- Primeiro calcule
: - A expressão encontrada para
foi: - Para a meia-vida, coloque
. Calcule passo a passo: -
-
fica . -
Como , tem -
- Somando os termos internos:
- Fator multiplicador:
- Logo
-
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
.