Em temperaturas acima de
, e na presença de um catalisador de ferro, a espécie A reage dando o produto R; e em temperaturas superiores a
, e na presença de um catalisador de zinco, ocorre a reação de A formando S . Foram feitos estudos experimentais bem elaborados e conduzidos, obtendo-se as seguintes conclusões:
(i) todas as reações envolvendo a espécie A são de segunda ordem;
(ii) quando a reação é efetuada a
, na presença do catalisador de ferro, o tempo de meia-vida de A é de 2 horas;
(iii) quando a reação é efetuada a
, na presença do catalisador de zinco, o tempo de meia-vida de A é de 1 hora.
Determinar o tempo de meia-vida de A, supondo que a reação é efetuada a uma temperatura de
, na presença simultânea dos catalisadores de ferro e de zinco, uniformemente distribuídos no meio reacional.
(i) todas as reações envolvendo a espécie A são de segunda ordem;
(ii) quando a reação é efetuada a
(iii) quando a reação é efetuada a
Determinar o tempo de meia-vida de A, supondo que a reação é efetuada a uma temperatura de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede um único valor (tempo de meia-vida quando ambos os catalisadores estão presentes):
-
Dados fornecidos:
- Todas as reações envolvendo a espécie A são de segunda ordem.
- A reação a
com catalisador de ferro tem tempo de meia-vida de A igual a horas. - A reação a
com catalisador de zinco tem tempo de meia-vida de A igual a hora. - Agora a reação será efetuada a
com ambos os catalisadores (ferro e zinco) simultaneamente e uniformemente distribuídos.
-
O que se pede:
- Determinar o tempo de meia-vida de A nas condições com os dois catalisadores presentes.
Passo 2
Relembrando e deduzindo a lei para reação de segunda ordem (aula rapidinha):
-
Definição e notação:
- Seja
a concentração de A no instante . - Seja
a concentração inicial de A (em ). - Para uma reação simples de segunda ordem do tipo
produtos, a velocidade instantânea é proporcional ao quadrado da concentração: onde é a constante de velocidade (unidade ).
- Seja
-
Integração da equação diferencial (passo a passo):
- Reescrevendo:
- Integrando ambos os lados de
a e de a : - Calculando as integrais:
- Finalmente:
- Reescrevendo:
Passo 3
Encontrando a expressão do tempo de meia-vida para reação de segunda ordem:
-
Definição de meia-vida: tempo
tal que . -
Substituindo na lei integrada:Como
, obtém-se -
Calculando o lado esquerdo:
-
Portanto a fórmula da meia-vida para reação de segunda ordem é
-
Observação importante: para segunda ordem,
depende da concentração inicial e é inversamente proporcional ao produto .
Passo 4
Usando os dados experimentais para relacionar
e
de cada catalisador:
- Denotemos
a constante de velocidade quando só está o catalisador de ferro e quando só está o catalisador de zinco. - Pelas meias-vidas dadas:
- Com ferro isolado:
. Pela fórmula da meia-vida: - Com zinco isolado:
. Pela mesma fórmula:
- Com ferro isolado:
Obs.: aqui não precisamos conhecer o valor numérico de
, porque os dados de meia-vida dão diretamente os produtos
.
Passo 5
Modelo quando ambos os catalisadores estão presentes (reagindo em paralelo):
- Física química/kinética: se existem duas vias concorrentes e independentes por onde A se consome, cada via contribui para a velocidade total somando as velocidades parciais.
- Como cada via é de segunda ordem, as velocidades parciais são
e . A velocidade total é - Portanto o sistema continua a obedecer a uma cinética de segunda ordem efetiva com constante efetiva
- Logo o produto que aparece na fórmula da meia-vida fica
Passo 6
Cálculo numérico do tempo de meia-vida com os dois catalisadores:
- Usando os valores obtidos em
Passo 7
- Soma:
- Aplicando a fórmula da meia-vida para segunda ordem com constante efetiva:
Passo 8
Expressando o resultado em unidades mais usuais (minutos) e encerrando com um incentivo:
- Convertendo para minutos:
- Fica então claro: com os dois catalisadores simultâneos a meia-vida diminui porque as duas vias somam suas velocidades. Você fez tudo certo até aqui — é muito comum sentir dificuldade com cinética, mas a ideia-chave é lembrar que velocidades em paralelo se somam e a meia-vida de segunda ordem tem a fórmula simples que usamos.