(2,5) Em temperaturas acima de 50^{\circ} \mathrm{C}, e na presença de um catalisador de ferro, a espécie A reage dando o produto R; e em temperaturas superiores a 70^{\circ} \mathrm{C}, e na presença de um catalisador de zinco, ocorre a reação de A formando S . Foram feitos estudos experimentais bem elaborados e conduzidos, obtendo-se as seguintes conclusões:
(i) todas as reações envolvendo a espécie A são de segunda ordem;
(ii) quando a reação é efetuada a 80^{\circ} \mathrm{C}, na presença do catalisador de ferro, o tempo de meia-vida de A é de 2 horas;
(iii) quando a reação é efetuada a 80^{\circ} \mathrm{C}, na presença do catalisador de zinco, o tempo de meia-vida de A é de 1 hora.
Determinar o tempo de meia-vida de A, supondo que a reação é efetuada a uma temperatura de 80^{\circ} \mathrm{C}, na presença simultânea dos catalisadores de ferro e de zinco, uniformemente distribuídos no meio reacional.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede um único valor (tempo de meia-vida quando ambos os catalisadores estão presentes):
  • Dados fornecidos:
    • Todas as reações envolvendo a espécie A são de segunda ordem.
    • A reação a 80^\circ\mathrm{C} com catalisador de ferro tem tempo de meia-vida de A igual a 2 horas.
    • A reação a 80^\circ\mathrm{C} com catalisador de zinco tem tempo de meia-vida de A igual a 1 hora.
    • Agora a reação será efetuada a 80^\circ\mathrm{C} com ambos os catalisadores (ferro e zinco) simultaneamente e uniformemente distribuídos.
  • O que se pede:
    • Determinar o tempo de meia-vida de A nas condições com os dois catalisadores presentes.

Passo 2

Relembrando e deduzindo a lei para reação de segunda ordem (aula rapidinha):
  • Definição e notação:
    • Seja [A] a concentração de A no instante t.
    • Seja [A]_0 a concentração inicial de A (em t=0).
    • Para uma reação simples de segunda ordem do tipo A \to produtos, a velocidade instantânea é proporcional ao quadrado da concentração: \text{velocidade} = -\frac{d[A]}{dt} = k\,[A]^2,onde k é a constante de velocidade (unidade \text{concentração}^{-1}\cdot\text{tempo}^{-1}çã).
  • Integração da equação diferencial (passo a passo):
    • Reescrevendo: \frac{d[A]}{[A]^2} = -k\,dt.
    • Integrando ambos os lados de t=0 a t e de [A]_0 a [A]: \int_{[A]_0}^{[A]}\frac{d[A]}{[A]^2} = -\int_{0}^{t} k\,dt.
    • Calculando as integrais: \left[-\frac{1}{[A]}\right]_{[A]_0}^{[A]} = -k t \quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{[A]} + \frac{1}{[A]_0} = -k t.
    • Finalmente: \frac{1}{[A]} - \frac{1}{[A]_0} = k t.

Passo 3

Encontrando a expressão do tempo de meia-vida para reação de segunda ordem:
  • Definição de meia-vida: tempo t_{1/2} tal que [A](t_{1/2}) = \dfrac{[A]_0}{2}.
  • Substituindo na lei integrada:
    \frac{1}{[A](t_{1/2})} - \frac{1}{[A]_0} = k t_{1/2}.
    Como [A](t_{1/2}) = \dfrac{[A]_0}{2}, obtém-se
    \frac{1}{[A]_0/2} - \frac{1}{[A]_0} = k t_{1/2}.
  • Calculando o lado esquerdo:
    \frac{2}{[A]_0} - \frac{1}{[A]_0} = \frac{1}{[A]_0}.
  • Portanto a fórmula da meia-vida para reação de segunda ordem é
    t_{1/2} = \frac{1}{k\,[A]_0}.
  • Observação importante: para segunda ordem, t_{1/2} depende da concentração inicial [A]_0 e é inversamente proporcional ao produto k\,[A]_0.

Passo 4

Usando os dados experimentais para relacionar k e [A]_0 de cada catalisador:
  • Denotemos k_1 a constante de velocidade quando só está o catalisador de ferro e k_2 quando só está o catalisador de zinco.
  • Pelas meias-vidas dadas:
    • Com ferro isolado: t_{1/2}^{(\text{Fe})} = 2\\ \text{h}. Pela fórmula da meia-vida: 2 = \frac{1}{k_1\,[A]_0} \quad\Rightarrow\quad k_1\,[A]_0 = \frac{1}{2}\\ \text{h}^{-1}.
    • Com zinco isolado: t_{1/2}^{(\text{Zn})} = 1\\ \text{h}. Pela mesma fórmula: 1 = \frac{1}{k_2\,[A]_0} \quad\Rightarrow\quad k_2\,[A]_0 = 1\\ \text{h}^{-1}.
Obs.: aqui não precisamos conhecer o valor numérico de [A]_0, porque os dados de meia-vida dão diretamente os produtos k_i [A]_0.

Passo 5

Modelo quando ambos os catalisadores estão presentes (reagindo em paralelo):
  • Física química/kinética: se existem duas vias concorrentes e independentes por onde A se consome, cada via contribui para a velocidade total somando as velocidades parciais.
  • Como cada via é de segunda ordem, as velocidades parciais são k_1[A]^2 e k_2[A]^2. A velocidade total é -\frac{d[A]}{dt} = (k_1 + k_2)[A]^2.
  • Portanto o sistema continua a obedecer a uma cinética de segunda ordem efetiva com constante efetiva k_{\text{ef}} = k_1 + k_2.
  • Logo o produto que aparece na fórmula da meia-vida fica k_{\text{ef}}[A]_0 = (k_1 + k_2)[A]_0 = k_1[A]_0 + k_2[A]_0.

Passo 6

Cálculo numérico do tempo de meia-vida com os dois catalisadores:
  • Usando os valores obtidos em

Passo 7

k_1[A]_0 = \frac{1}{2},\qquad k_2[A]_0 = 1.
  • Soma: k_{\text{ef}}[A]_0 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}\\ \text{h}^{-1}.
  • Aplicando a fórmula da meia-vida para segunda ordem com constante efetiva: t_{1/2}^{(\text{ambos})} = \frac{1}{k_{\text{ef}}[A]_0} = \frac{1}{\tfrac{3}{2}} = \frac{2}{3}\\ \text{h}.

Passo 8

Expressando o resultado em unidades mais usuais (minutos) e encerrando com um incentivo:
  • Convertendo para minutos: \frac{2}{3}\\ \text{h} = \frac{2}{3}\times 60\\ \text{min} = 40\\ \text{min}.
  • Fica então claro: com os dois catalisadores simultâneos a meia-vida diminui porque as duas vias somam suas velocidades. Você fez tudo certo até aqui — é muito comum sentir dificuldade com cinética, mas a ideia-chave é lembrar que velocidades em paralelo se somam e a meia-vida de segunda ordem tem a fórmula simples que usamos.

Resposta

\dfrac{2}{3}\\ \text{h} = 40\\ \text{min}

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