Se uma reação tem a mesma constante de velocidade (independente das concentrações dos reagentes), qual é o tempo necessário para que a quantidade inicial do reagente diminua em 5 \% (isto é, próximo do início da reação), se a cinética for de:
(c) segunda ordem em relação ao reagente? Comente a relação entre o tempo de consumo e a concentração inicial do reagente.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já nos é dado:\n
  • Pede o tempo necessário para que a quantidade inicial do reagente diminua em 5\%, ou seja, para que a concentração caia de [A]_0 para [A](t)=0{,}95\,[A]_0.\n
  • A cinética é de segunda ordem em relação ao mesmo reagente e a constante de velocidade k é constante (independente das concentrações).\n
    Informações relevantes que vamos usar (tiradas do enunciado):\n
  • Lei de velocidade: reação segunda ordem em [A].
  • Valor alvo de concentração: [A](t)=0{,}95\,[A]_0.

Passo 2

O que significa “segunda ordem em relação ao reagente” e qual equação diferencial usamos\n
  • Quando uma reação é de segunda ordem em [A], a velocidade de consumo de A obedece à lei
-\frac{d[A]}{dt} = k\,[A]^2,
onde [A]=[A](t) é a concentração de A no tempo t e k é a constante de velocidade. Explicando os símbolos: [A] tem unidades de concentração (por exemplo, \mathrm{mol\;L^{-1}}), t é tempo (por exemplo, \mathrm{s}), e k tem unidades que tornam os dois lados dimensionalmente compatíveis (para segunda ordem, k tem unidades \mathrm{(concentração)^{-1}\,time^{-1}}çã, por exemplo \mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}}).\n
  • Nosso objetivo é integrar essa equação diferencial para obter uma relação explícita entre [A](t), [A]_0 e t.

Passo 3

Separação de variáveis e integração (passo a passo)\n
  • Começamos por separar variáveis, levando todos os termos em [A] para um lado e dt para o outro:
\frac{d[A]}{[A]^2} = -k\,dt.
  • Agora integramos ambos os lados. Vamos fazer integração definida desde t=0 (quando [A]=[A]_0) até tempo t (quando [A]=[A](t)):
\int_{[A]_0}^{[A](t)} \frac{d[A]}{[A]^2} = -k \int_{0}^{t} dt.
  • Calcule a integral no lado esquerdo. Lembrando que \int x^{-2} dx = -x^{-1}, temos:
\left[-\frac{1}{[A]}\right]_{[A]_0}^{[A](t)} = -k\,[t]_0^{t}.
  • Avaliando os parênteses:
-\frac{1}{[A](t)} + \frac{1}{[A]_0} = -k\,t.
  • Multiplicando por -1 e reorganizando:
\frac{1}{[A](t)} - \frac{1}{[A]_0} = k\,t.
Esta é a forma integrada conhecida para cinética de segunda ordem (uma forma muito usada em provas).

Passo 4

Aplicar a condição específica [A](t)=0{,}95\,[A]_0 e isolar t\n
  • Substituímos [A](t)=0{,}95\,[A]_0 na expressão integrada:
\frac{1}{0{,}95\,[A]_0} - \frac{1}{[A]_0} = k\,t.
  • Colocando sobre denominador comum [A]_0:
\left(\frac{1}{0{,}95} - 1\right)\frac{1}{[A]_0} = k\,t.
  • Calcule o fator numérico \dfrac{1}{0{,}95}-1. Observe que
\frac{1}{0{,}95}-1=\frac{1-0{,}95}{0{,}95}=\frac{0{,}05}{0{,}95}=\frac{1}{19}.
  • Portanto
\frac{1}{19}\cdot\frac{1}{[A]_0}=k\,t.
  • Isolando t:
t=\frac{1}{19\,k\,[A]_0}.

Passo 5

Interpretação numérica aproximada e aproximação para pequenas variações\n
  • A expressão exata que encontramos é
t=\frac{1}{19\,k\,[A]_0}.
  • Para pequenas quedas fracionárias \delta (aqui \delta=0{,}05), a expressão geral daria
t=\frac{\delta}{(1-\delta)\,k\,[A]_0},
porque \dfrac{\delta}{1-\delta}=\dfrac{0{,}05}{0{,}95}=\dfrac{1}{19}. Quando \delta é muito pequeno, \dfrac{\delta}{1-\delta}\approx\delta, então a boa aproximação de primeira ordem é
t \approx \frac{\delta}{k\,[A]_0}.
No nosso caso \delta=0{,}05, essa aproximação dá t\approx\dfrac{0{,}05}{k\,[A]_0}, que é bastante próxima do valor exato 1/(19\,k\,[A]_0) porque 0{,}05 e 1/19\approx0{,}05263 são números próximos.

Passo 6

Comentário sobre a relação entre o tempo de consumo e a concentração inicial [A]_0\n
  • Da fórmula exata \displaystyle t=\frac{1}{19\,k\,[A]_0} vemos que t é inversamente proporcional a [A]_0: \displaystyle t\propto\frac{1}{[A]_0}.\n
  • Interpretação física/intuitiva: para reações de segunda ordem a velocidade inicial é proporcional a [A]_0^2. Se [A]_0 é maior, a reação começa muito mais rápida, então o tempo necessário para perder uma fração pequena (como 5\%) é menor. Ou seja, quanto maior [A]_0, menor o tempo para esse mesmo percentual de consumo.\n
  • Comparando com outras ordens (útil para prova): para ordem zero t para certa fração cresce com [A]_0 (proporcional), para ordem um o tempo para uma dada fração é independente de [A]_0, e para segunda ordem t diminui quando [A]_0 aumenta (é inversamente proporcional).

Passo 7

Resumo final e dica prática para prova\n
  • Use sempre a integração direta da equação diferencial para cinética de segunda ordem e substitua a fração desejada. Para pequenas variações percentuais a aproximação t\approx \dfrac{\delta}{k\,[A]_0} é uma mão na roda rápida na prova.\n
  • Forneça unidades coerentes (se [A]_0 em \mathrm{mol\,L^{-1}} e t em \mathrm{s}, então k deve estar em \mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}}). Boa sorte — você vai mandar bem!

Resposta

\displaystyle t=\frac{1}{19\,k\,[A]_0}\n
Relação: \displaystyle t\propto\frac{1}{[A]_0} (inversamente proporcional a [A]_0).

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