Se uma reação tem a mesma constante de velocidade (independente das concentrações dos reagentes), qual é o tempo necessário para que a quantidade inicial do reagente diminua em
(isto é, próximo do início da reação), se a cinética for de:
(c) segunda ordem em relação ao reagente? Comente a relação entre o tempo de consumo e a concentração inicial do reagente.
(c) segunda ordem em relação ao reagente? Comente a relação entre o tempo de consumo e a concentração inicial do reagente.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já nos é dado:\n
- Pede o tempo necessário para que a quantidade inicial do reagente diminua em
, ou seja, para que a concentração caia de para .\n - A cinética é de segunda ordem em relação ao mesmo reagente e a constante de velocidade
é constante (independente das concentrações).\n
Informações relevantes que vamos usar (tiradas do enunciado):\n - Lei de velocidade: reação segunda ordem em
. - Valor alvo de concentração:
.
Passo 2
O que significa “segunda ordem em relação ao reagente” e qual equação diferencial usamos\n
- Quando uma reação é de segunda ordem em
, a velocidade de consumo de obedece à lei
onde
é a concentração de
no tempo
e
é a constante de velocidade. Explicando os símbolos:
tem unidades de concentração (por exemplo,
),
é tempo (por exemplo,
), e
tem unidades que tornam os dois lados dimensionalmente compatíveis (para segunda ordem,
tem unidades
, por exemplo
).\n
- Nosso objetivo é integrar essa equação diferencial para obter uma relação explícita entre
, e .
Passo 3
Separação de variáveis e integração (passo a passo)\n
- Começamos por separar variáveis, levando todos os termos em
para um lado e para o outro:
- Agora integramos ambos os lados. Vamos fazer integração definida desde
(quando ) até tempo (quando ):
- Calcule a integral no lado esquerdo. Lembrando que
, temos:
- Avaliando os parênteses:
- Multiplicando por
e reorganizando:
Esta é a forma integrada conhecida para cinética de segunda ordem (uma forma muito usada em provas).
Passo 4
Aplicar a condição específica
e isolar
\n
- Substituímos
na expressão integrada:
- Colocando sobre denominador comum
:
- Calcule o fator numérico
. Observe que
- Portanto
- Isolando
:
Passo 5
Interpretação numérica aproximada e aproximação para pequenas variações\n
- A expressão exata que encontramos é
- Para pequenas quedas fracionárias
(aqui ), a expressão geral daria
porque
. Quando
é muito pequeno,
, então a boa aproximação de primeira ordem é
No nosso caso
, essa aproximação dá
, que é bastante próxima do valor exato
porque
e
são números próximos.
Passo 6
Comentário sobre a relação entre o tempo de consumo e a concentração inicial
\n
- Da fórmula exata
vemos que é inversamente proporcional a : .\n - Interpretação física/intuitiva: para reações de segunda ordem a velocidade inicial é proporcional a
. Se é maior, a reação começa muito mais rápida, então o tempo necessário para perder uma fração pequena (como ) é menor. Ou seja, quanto maior , menor o tempo para esse mesmo percentual de consumo.\n - Comparando com outras ordens (útil para prova): para ordem zero
para certa fração cresce com (proporcional), para ordem um o tempo para uma dada fração é independente de , e para segunda ordem diminui quando aumenta (é inversamente proporcional).
Passo 7
Resumo final e dica prática para prova\n
- Use sempre a integração direta da equação diferencial para cinética de segunda ordem e substitua a fração desejada. Para pequenas variações percentuais a aproximação
é uma mão na roda rápida na prova.\n - Forneça unidades coerentes (se
em e em , então deve estar em ). Boa sorte — você vai mandar bem!
Resposta
Relação: