Se uma reação tem a mesma constante de velocidade (independente das concentrações dos reagentes), qual é o tempo necessário para que a quantidade inicial do reagente diminua em 5 \% (isto é, próximo do início da reação), se a cinética for de:
(b) primeira ordem em relação ao reagente? Comente a relação entre o tempo de consumo e a concentração inicial do reagente.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o tempo necessário para que a quantidade inicial do reagente diminua em 5\% (ou seja, até restar 95\% da quantidade inicial) quando a cinética é de primeira ordem em relação ao reagente. Informações dadas e metas claras:
  • Dado: a reação é de primeira ordem em relação ao reagente.
  • Dado: queremos o tempo t tal que a concentração em t seja 95\% da concentração inicial.
  • Objetivo: encontrar t em função da constante de velocidade k, e comentar a relação entre esse tempo e a concentração inicial [A]_0.

Passo 2

Esclarecer a lei de velocidade para primeira ordem e escrever a equação diferencial que a descreve. Para uma reação elementar de primeira ordem em A a velocidade de consumo de A é proporcional à sua concentração. A expressão comum é
\text{velocidade} = -\frac{d[A]}{dt} = k[A],
onde:
  • [A] é a concentração do reagente no instante t,
  • [A]_0 é a concentração inicial (em t=0),
  • k é a constante de velocidade (unidades de \text{tempo}^{-1}),
  • o sinal negativo indica que [A] diminui com o tempo.

Passo 3

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis. Partimos de
-\frac{d[A]}{dt} = k[A].
Rearranjando para separar [A] e t,
\frac{d[A]}{[A]} = -k\,dt.
Agora integramos ambos os lados entre os limites apropriados: quando t=0, [A]=[A]_0; quando t=t, [A]=[A](t). Assim,
\int_{[A]_0}^{[A](t)} \frac{d[A]}{[A]} = -\int_{0}^{t} k\,dt.

Passo 4

Calcular as integrais usando propriedades do logaritmo. A integral do lado esquerdo é um logaritmo natural:
\left.\ln([A])\right|_{[A]_0}^{[A](t)} = -k\left.t\right|_{0}^{t}.
Isso dá
\ln\bigl([A](t)\bigr) - \ln\bigl([A]_0\bigr) = -k t.
Usando a propriedade dos logaritmos \ln(x)-\ln(y)=\ln\!\left(\dfrac{x}{y}\right), obtemos a forma integrada usual da cinética de primeira ordem:
\ln\!\left(\dfrac{[A](t)}{[A]_0}\right) = -k t.

Passo 5

Aplicar a condição pedida: queremos que a concentração em t seja 95\% da inicial, isto é
[A](t) = 0,95\,[A]_0.
Substituindo na equação integrada:
\ln\!\left(\dfrac{0,95\,[A]_0}{[A]_0}\right) = \ln(0,95) = -k t.
Isolando t:
t = -\frac{1}{k}\ln(0,95).

Passo 6

Avaliar numericamente o logaritmo para apresentar uma forma prática. O valor do logaritmo natural de 0,95 é aproximadamente
\ln(0,95) \approx -0{,}051293.
Portanto
t \approx -\frac{1}{k}\cdot(-0{,}051293)=\frac{0{,}051293}{k}.
Assim, o tempo necessário para reduzir a concentração em 5\% é aproximadamente 0{,}0513/k.

Passo 7

Comentário sobre a dependência com a concentração inicial [A]_0. Observe que na expressão final para t,
t = -\frac{1}{k}\ln(0,95),
não aparece [A]_0: a concentração inicial cancelou-se durante a divisão dentro do logaritmo. Conclusão: para cinética de primeira ordem, o tempo necessário para alcançar uma dada fração (por exemplo 95\% restante, ou 5\% consumido) é independente de [A]_0. Em palavras mais amistosas: se a reação é estritamente de primeira ordem, o fato de começar com muito ou pouco reagente não muda quanto tempo é preciso para perder uma fração fixa do que se tinha — isso depende só de k.
Observação prática (aproximação para início da reação): para pequenas frações x consumidas ( x\ll1), usa-se \ln(1-x)\approx -x. Aplicando com x=0{,}05 obtém-se t\approx 0{,}05/k, que é muito próximo do valor exato 0{,}051293/k. Por isso dizer “próximo do início da reação” justifica usar a aproximação linear, mas aqui deu-se o valor exato e a aproximação para comparar.

Resposta

t = -\dfrac{1}{k}\ln(0,95) \approx \dfrac{0{,}051293}{k}.
O tempo é independente da concentração inicial [A]_0.

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