Se uma reação tem a mesma constante de velocidade (independente das concentrações dos reagentes), qual é o tempo necessário para que a quantidade inicial do reagente diminua em
(isto é, próximo do início da reação), se a cinética for de:
(b) primeira ordem em relação ao reagente? Comente a relação entre o tempo de consumo e a concentração inicial do reagente.
(b) primeira ordem em relação ao reagente? Comente a relação entre o tempo de consumo e a concentração inicial do reagente.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o tempo necessário para que a quantidade inicial do reagente diminua em
(ou seja, até restar
da quantidade inicial) quando a cinética é de primeira ordem em relação ao reagente. Informações dadas e metas claras:
- Dado: a reação é de primeira ordem em relação ao reagente.
- Dado: queremos o tempo
tal que a concentração em seja da concentração inicial. - Objetivo: encontrar
em função da constante de velocidade , e comentar a relação entre esse tempo e a concentração inicial .
Passo 2
Esclarecer a lei de velocidade para primeira ordem e escrever a equação diferencial que a descreve. Para uma reação elementar de primeira ordem em
a velocidade de consumo de
é proporcional à sua concentração. A expressão comum é
onde:
-
é a concentração do reagente no instante , -
é a concentração inicial (em ), -
é a constante de velocidade (unidades de ), - o sinal negativo indica que
diminui com o tempo.
Passo 3
Resolver a equação diferencial por separação de variáveis. Partimos de
Rearranjando para separar
e
,
Agora integramos ambos os lados entre os limites apropriados: quando
,
; quando
,
. Assim,
Passo 4
Calcular as integrais usando propriedades do logaritmo. A integral do lado esquerdo é um logaritmo natural:
Isso dá
Usando a propriedade dos logaritmos
, obtemos a forma integrada usual da cinética de primeira ordem:
Passo 5
Aplicar a condição pedida: queremos que a concentração em
seja
da inicial, isto é
Substituindo na equação integrada:
Isolando
:
Passo 6
Avaliar numericamente o logaritmo para apresentar uma forma prática. O valor do logaritmo natural de
é aproximadamente
Portanto
Assim, o tempo necessário para reduzir a concentração em
é aproximadamente
.
Passo 7
Comentário sobre a dependência com a concentração inicial
. Observe que na expressão final para
,
não aparece
: a concentração inicial cancelou-se durante a divisão dentro do logaritmo. Conclusão: para cinética de primeira ordem, o tempo necessário para alcançar uma dada fração (por exemplo
restante, ou
consumido) é independente de
. Em palavras mais amistosas: se a reação é estritamente de primeira ordem, o fato de começar com muito ou pouco reagente não muda quanto tempo é preciso para perder uma fração fixa do que se tinha — isso depende só de
.
Observação prática (aproximação para início da reação): para pequenas frações
consumidas (
), usa-se
. Aplicando com
obtém-se
, que é muito próximo do valor exato
. Por isso dizer “próximo do início da reação” justifica usar a aproximação linear, mas aqui deu-se o valor exato e a aproximação para comparar.
Resposta
O tempo é independente da concentração inicial