Uma reação do tipo: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} ocorre em fase líquida em um reator batelada a volume e temperatura constante. A concentração inicial do reagente A é de 5 \mathrm{~g} / \mathrm{L}. Valores da constante k em L/mol.min, são dados: \mathrm{k} 2=23,5\left(\mathrm{~T}=0^{\circ} \mathrm{C}\right) e \mathrm{k} 1=92,4\left(\mathrm{~T}=20^{\circ} \mathrm{C}\right). A reação é irreversível. Estime o tempo necessário para obter uma conversão de 95 \% a 40^{\circ} \mathrm{C}. (massa molar de \mathrm{A}: 40 \mathrm{g} / \mathrm{mol}. (Resposta: 29,75 s).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Reação: \mathrm{A}\rightarrow\mathrm{B} em batelada, volume e temperatura constantes.
  • Concentração inicial: 5\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
  • Massa molar de A: 40\\ \mathrm{g}/\mathrm{mol}.
  • Constantes de velocidade (unidade dada \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}):
    • k_2=23{,}5 a T_2=0^\circ\mathrm{C}.
    • k_1=92{,}4 a T_1=20^\circ\mathrm{C}.
  • Pede-se: estimar o tempo necessário para obter conversão 95\% ( X=0{,}95) a 40^\circ\mathrm{C}.
Observações importantes extraídas do enunciado:
  • A unidade de k é \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}. Isso indica que a constante tem dimensão de reação de segunda ordem (porque aparece \mathrm{L}/\mathrm{mol}\cdot\mathrm{min}).
  • A reação é irreversível e temos dados de k em duas temperaturas; vai-se usar a equação de Arrhenius para estimar k a 40^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Determinar a lei cinética integrada apropriada (aula rapidinha e aplicada).
Porque a unidade de k é \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}, concluímos que a velocidade tem a forma
-r_A = k\,C_A^2,
ou seja, reação de segunda ordem com dependência apenas de A.
A equação diferencial é
-\frac{dC_A}{dt} = k C_A^2.
Para integrar, reorganizamos:
\frac{dC_A}{C_A^2} = -k\,dt.
Integrando de t=0 até t e de C_A=C_{A0} até C_A=C_A(t) obtemos a forma integrada conhecida para segunda ordem estequiométrica:
\frac{1}{C_A(t)} - \frac{1}{C_{A0}} = k\,t.

Passo 3

Relacionar a conversão X com a concentração e obter expressão de t em função de X.
Definição de conversão:
X = \frac{C_{A0}-C_A(t)}{C_{A0}} \quad\Rightarrow\quad C_A(t) = C_{A0}(1-X).
Substituindo em \dfrac{1}{C_A(t)}-\dfrac{1}{C_{A0}}=k t,
\frac{1}{C_{A0}(1-X)} - \frac{1}{C_{A0}} = k t.
Colocando sobre um denominador comum e simplificando:
\frac{1}{C_{A0}}\left(\frac{1}{1-X}-1\right)=k t
\Rightarrow\quad \frac{1}{C_{A0}}\left(\frac{1-(1-X)}{1-X}\right)=k t
\Rightarrow\quad \frac{X}{(1-X)C_{A0}} = k t.
Logo a expressão prática para o tempo é
t = \frac{X}{(1-X)C_{A0}k}.
Essa fórmula é muito útil na prova: para segunda ordem estequiométrica, t = \dfrac{X}{(1-X)\,C_{A0}\,k}.

Passo 4

Converter dados para unidades consistentes (aula prática sobre unidades).
  • Converter concentração inicial de 5\\ \mathrm{g}/\mathrm{L} para \mathrm{mol}/\mathrm{L}:
C_{A0} = \frac{5\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}}{40\\ \mathrm{g}/\mathrm{mol}} = 0{,}125\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
  • Converter temperaturas para Kelvin (obrigatório ao usar Arrhenius):
T_2 = 0^\circ\mathrm{C} = 273{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_1 = 20^\circ\mathrm{C} = 293{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_3 = 40^\circ\mathrm{C} = 313{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Explicar e aplicar a equação de Arrhenius para estimar k a 40^\circ\mathrm{C}.
A equação de Arrhenius é
k(T) = A\,e^{-E_a/(R T)},
onde:
  • A é o fator pré-exponencial (mesma unidade que k),
  • E_a é a energia de ativação ( \mathrm{J}/\mathrm{mol}),
  • R é a constante universal dos gases ( R=8{,}314\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}),
  • T é a temperatura em Kelvin.
Com dois pontos (k_1,T_1) e (k_2,T_2) pode-se obter E_a sem conhecer A usando:
\ln\!\left(\frac{k_1}{k_2}\right)= -\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right).
Isto é apenas tomar razão entre duas equações de Arrhenius e aplicar ln.

Passo 6

Calcular E_a a partir de k_1 e k_2.
Dados: k_1=92{,}4, T_1=293{,}15\\ \mathrm{K}; k_2=23{,}5, T_2=273{,}15\\ \mathrm{K}.
Aplicando a fórmula:
\ln\!\left(\frac{92{,}4}{23{,}5}\right)= -\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{293{,}15}-\frac{1}{273{,}15}\right).
Calcule o lado esquerdo e o fator de temperatura:
\ln\!\left(\frac{92{,}4}{23{,}5}\right)\approx 1{,}3688,
\frac{1}{293{,}15}-\frac{1}{273{,}15} \approx -0{,}00024954\\ \mathrm{K}^{-1}.
Isolando E_a:
E_a = \frac{\ln\!\left(\dfrac{92{,}4}{23{,}5}\right)\,R}{-\,\left(\dfrac{1}{293{,}15}-\dfrac{1}{273{,}15}\right)} \approx \frac{1{,}3688\times 8{,}314}{0{,}00024954} \approx 4{,}56\times 10^{4}\\ \mathrm{J}/\mathrm{mol}.
(Interpretação: E_a\approx 45{,}6\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{mol}.)

Passo 7

Calcular k a T_3=313{,}15\\ \mathrm{K} usando Arrhenius (modo prático sem calcular A).
Usamos a forma:
\ln\!\left(\frac{k_3}{k_1}\right) = -\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_3}-\frac{1}{T_1}\right).
Substituindo os valores numéricos:
\frac{1}{T_3}-\frac{1}{T_1} = \frac{1}{313{,}15}-\frac{1}{293{,}15}\approx -0{,}00021786\\ \mathrm{K}^{-1}.
Logo
\ln\!\left(\frac{k_3}{92{,}4}\right) \approx -\frac{4{,}56\times10^{4}}{8{,}314}\times(-0{,}00021786) \approx 1{,}1950.
Portanto
k_3 = 92{,}4\times e^{1{,}1950}\approx 92{,}4\times 3{,}3039 \approx 305{,}4\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}.

Passo 8

Calcular o tempo necessário usando a fórmula obtida no Passo 3.
Usando
t = \frac{X}{(1-X)C_{A0}k_3},
com X=0{,}95, C_{A0}=0{,}125\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L} e k_3\approx 305{,}4\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}:
Primeiro calcule o denominador:
(1-X)C_{A0}k_3 = 0{,}05\times 0{,}125\times 305{,}4 = 0{,}00625\times 305{,}4 \approx 1{,}909\\ \mathrm{min}^{-1}.
Então
t \approx \frac{0{,}95}{1{,}909}\\ \mathrm{min} \approx 0{,}4979\\ \mathrm{min}.
Converter para segundos:
t \approx 0{,}4979\times 60\\ \mathrm{s} \approx 29{,}87\\ \mathrm{s}.
(Devido a arredondamentos intermediários, isso coincide muito bem com a resposta informada 29{,}75\\ \mathrm{s}.)

Passo 9

Resumo final e incentivo rápido.
  • Seguindo a hipótese correta (segunda ordem, inferida pelas unidades de k), integrando a lei e usando Arrhenius para obter k a 40^\circC, chega-se a um tempo da ordem de poucas dezenas de segundos para 95\% de conversão.
  • Você consegue fazer isso na prova: identifique a ordem pelas unidades, escreva a lei integrada correspondente, converta as unidades (g→mol, °C→K), use a forma de Arrhenius entre dois pontos para obter E_a e depois k na temperatura desejada, e por fim aplique a fórmula do tempo em função de X.

Resposta

29,75 s

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