Sabendo-se que a constante do gás para o ar é \mathrm{R}=287 ( \mathrm{J} / \mathrm{kg} \mathrm{K} ). Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50^{\circ} \mathrm{C}, no qual existe um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa .
R: 5,08 \mathrm{Kgm}{ }^{3}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • Dados fornecidos:
    • A constante do gás para o ar: \mathrm{R}=287\\ \mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\mathrm{K}^{-1}.
    • Temperatura indicada no reservatório: 50^\circ\mathrm{C}.
    • Manômetro indicando pressão: 370\\ \mathrm{kPa}.
  • O que se pede:
    • Determinar a massa específica (densidade) do ar no reservatório, ou seja, \rho em \mathrm{kg\,m^{-3}}.

Passo 2

Qual fórmula vamos usar e por quê (aula rápida e concreta):
  • Para um gás ideal (aproximação usual para ar em condições normais) vale a equação de estado específica:
    p = \rho\,R\,T,
    onde:
    • p é a pressão absoluta do gás (em \mathrm{Pa}),
    • \rho é a massa específica (densidade) em \mathrm{kg\,m^{-3}},
    • R é a constante específica do gás (para o ar, 287\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}),
    • T é a temperatura absoluta em Kelvin ( \mathrm{K}).
  • Desse relacionamento isolamos a densidade:
    \rho = \frac{p}{R\,T}.
  • Observação didática importante: 1\\ \mathrm{J} = 1\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m^{3}}, então as unidades casam: \mathrm{Pa}/(\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\cdot\mathrm{K}) = \mathrm{kg\,m^{-3}}.

Passo 3

Converter a temperatura para Kelvin (passo imprescindível):
  • A conversão é \,T(\mathrm{K}) = T(^\circ\mathrm{C}) + 273{,}15.
  • Portanto, para 50^\circ\mathrm{C}: T = 50 + 273{,}15 = 323{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Interpretar a leitura do manômetro e obter a pressão absoluta:
  • Um manômetro geralmente indica pressão relativa (pressão manométrica, ou seja, pressão acima da atmosférica). Para usar a equação p=\rho R T precisamos da pressão absoluta.
  • Pressão absoluta: p_{\text{abs}} = p_{\text{manômetro}} + p_{\text{atm}}.ô
  • Adotando a pressão atmosférica padrão p_{\text{atm}} = 101{,}325\\ \mathrm{kPa} (ou 101\,325\\ \mathrm{Pa}), e convertendo 370\\ \mathrm{kPa} para pascals: p_{\text{manômetro}} = 370\\ \mathrm{kPa} = 370\,000\\ \mathrm{Pa},ô
p_{\text{abs}} = 370\,000 + 101\,325 = 471\,325\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Calcular o produto R\,T (detalhando as contas para fazer sem calculadora):
  • R = 287\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}} e T = 323{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Multiplicando: R\,T = 287 \times 323{,}15.Fazer em partes: 287\times 300 = 86\,100,
287\times 23{,}15 = 287\times 23 + 287\times 0{,}15 = 6\,601 + 43{,}05 = 6\,644{,}05,
R\,T = 86\,100 + 6\,644{,}05 = 92\,744{,}05\\ \mathrm{(J\,kg^{-1})} = 92\,744{,}05\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}kg^{-1}K^{-1}\cdot K}.

Passo 6

Calcular a densidade \rho usando \rho = \dfrac{p_{\text{abs}}}{R\,T} e mostrar a divisão passo a passo:
  • Substituindo os valores: \rho = \frac{471\,325}{92\,744{,}05}\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
  • Estimativa por partes: 92\,744{,}05\times 5 = 463\,720{,}25. A diferença até 471\,325 é 471\,325 - 463\,720{,}25 = 7\,604{,}75.
  • Fração restante: \dfrac{7\,604{,}75}{92\,744{,}05}\approx 0{,}08195.
  • Soma: 5 + 0{,}08195 \approx 5{,}08195.
  • Arredondando razoavelmente para duas casas decimais (como no enunciado): \rho \approx 5{,}08\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.

Resposta

\rho = 5{,}08\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}

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