Determine a perda de carga em um conduto retangular de seção 0,50 \mathrm{~m} por 0,20 \mathrm{~m}, de aço comercial novo, \varepsilon=0,25 \mathrm{~mm}, com 620 m de comprimento, transportando 110 \mathrm{l} / \mathrm{s} de água. Viscosidade da água \mathrm{u}=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que nos pede (tudo que segue foi extraído do enunciado, sem resolver nada ainda).
  • Seção retangular com lados 0,50\\ \mathrm{m} e 0,20\\ \mathrm{m}.
  • Rugosidade do aço: \varepsilon=0,25\\ \mathrm{mm}=0,00025\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do conduto: L=620\\ \mathrm{m}.
  • Vazão de água: Q=110\\ \mathrm{L/s}=0,11\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Viscosidade cinemática da água: \nu=10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Dado físico da água (assumo para conversão de perda de carga em pressão): densidade \rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O enunciado pede: determinar a perda de carga no conduto (normalmente em metros de coluna de água; apresentação da perda de carga em Pa também é útil).

Passo 2

Calcular geometria hidráulica: área da seção A, perímetro molhado P e diâmetro hidráulico D_h.
  • Área:
A = 0{,}50 \times 0{,}20 = 0{,}10\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Perímetro molhado:
P = 2\,(0{,}50 + 0{,}20) = 1{,}40\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro hidráulico (definição importante: é o diâmetro equivalente para seção não circular, usado na fórmula de Darcy–Weisbach):
D_h = \frac{4A}{P}.
Substituindo:
D_h = \frac{4\times 0{,}10}{1{,}40} = \frac{0{,}40}{1{,}40} = 0{,}285714\\ \mathrm{m}\\ (\text{aprox. }0{,}2857\\ \mathrm{m}).
Explicação curta: D_h é usado para converter a seção retangular num “diâmetro equivalente” que preserva a relação entre área e perímetro molhado, porque as fórmulas de escoamento foram originalmente desenvolvidas para tubos circulares.

Passo 3

Calcular velocidade média V do escoamento (fórmula básica: V=Q/A).
V = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}11}{0{,}10} = 1{,}10\\ \mathrm{m/s}.
Dica rápida: velocidade média é o caudal dividido pela área; no exame, sempre verifique unidades (m^3/s dividido por m^2 dá m/s).

Passo 4

Determinar o número de Reynolds \mathrm{Re} para saber o regime (laminar/turbulento) e qual fórmula de perda usar.
Fórmula do número de Reynolds para tubo (usar D_h no lugar do diâmetro):
\mathrm{Re} = \frac{V D_h}{\nu}.
Substituindo:
\mathrm{Re} = \frac{1{,}10\times 0{,}285714}{10^{-6}} \approx 314\,286.
Interpretação: \mathrm{Re}\approx 3{,}14\times 10^{5}, bem acima de 5{,}000, logo escoamento totalmente turbulento. Para regime turbulento em condutos rugosos usamos a equação de Darcy–Weisbach com fator de atrito obtido de Colebrook ou de uma fórmula explícita (aproximação).

Passo 5

Explicar as fórmulas a usar e escolher o método para obter o fator de atrito f.
  • Perda de carga (altura de carga perdida) pela fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D_h}\,\frac{V^{2}}{2g},
onde f é o fator de atrito de Darcy (adimensional).
  • Para fluxo turbulento em tubos rugosos a relação exata é a equação implícita de Colebrook:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D_h} + \frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}}\right),
mas como essa equação é implícita em f costuma-se usar aproximações explícitas. Vou usar a fórmula de Swamee–Jain (rápida e suficiente para provas):
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D_h} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}.
Aqui cada termo significa:
  • \varepsilon/(3{,}7D_h): efeito da rugosidade relativa;
  • 5{,}74/\mathrm{Re}^{0{,}9}: termo que representa a contribuição da viscosidade (Reynolds).

Passo 6

Calcular o fator de atrito f com Swamee–Jain passo a passo.
  • Primeiro calcular \dfrac{\varepsilon}{3{,}7D_h}:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D_h} = \frac{0{,}00025}{3{,}7\times 0{,}285714}\approx 0{,}0002365.
  • Calcular \mathrm{Re}^{0{,}9}. Já temos \mathrm{Re}\approx 314\,286. Então \mathrm{Re}^{0{,}9} é da ordem de 8{,}9\times10^{4} (usar calculadora na prova se permitido; aqui apresento o valor aproximado):
\mathrm{Re}^{0{,}9} \approx 8{,}86\times10^{4}.
  • Então o segundo termo:
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx \frac{5{,}74}{8{,}86\times10^{4}} \approx 6{,}48\times10^{-5}.
  • Somando os dois termos dentro do logaritmo:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D_h} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx 0{,}0002365 + 0{,}0000648 \approx 0{,}0003011.
  • Logaritmo e f:
\log_{10}(0{,}0003011) \approx -3{,}5215,
f = \frac{0{,}25}{(-3{,}5215)^{2}} \approx \frac{0{,}25}{12{,}405} \approx 0{,}02016.
Interpretação: f\approx 0{,}0202. Isso é coerente com gráficos de Moody para rugosidade relativa \varepsilon/D_h\approx 8{,}75\times10^{-4} e \mathrm{Re}\sim 3\times10^{5}.

Passo 7

Calcular a perda de carga h_f usando Darcy–Weisbach. Primeiro calcule termos intermediários.
  • Razão L/D_h:
\frac{L}{D_h} = \frac{620}{0{,}285714} = 2{,}170\\ (\text{exatamente }620\times3{,}5).
  • Energia cinética por unidade de peso V^{2}/(2g):
\frac{V^{2}}{2g} = \frac{(1{,}10)^{2}}{2\times 9{,}81} = \frac{1{,}21}{19{,}62} \approx 0{,}06170\\ \mathrm{m}.
  • Agora h_f:
h_f = f\,\frac{L}{D_h}\,\frac{V^{2}}{2g} \approx 0{,}02016\times 2{,}170\times 0{,}06170 \approx 2{,}70\\ \mathrm{m}.
Significado: a perda de carga total ao longo dos 620\\ \mathrm{m} é cerca de 2{,}70\\ \mathrm{m} de coluna de água.

Passo 8

Converter essa perda de carga em perda de pressão \Delta p (se necessário), usando \Delta p=\rho g h_f.
\Delta p = 1000 \times 9{,}81 \times 2{,}70 \approx 2{,}65\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}\\ (\text{aprox. }26{,}5\\ \mathrm{kPa}).
Breve checagem de ordem de grandeza: perda de 2,7 m em 620 m é pequena (cerca de 4,35 m por km), coerente com escoamento moderado ( V\approx1{,}1 m/s) em conduto relativamente liso.

Resposta

h_f \approx 2{,}70\\ \mathrm{m}
\Delta p \approx 2{,}65\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}

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