Realizar o pré-dimensionamento de um Sistema de Tratamento de Água a partir da estimativa de demanda de água do município de Pontal do Paraná (projeção de 30 anos), dimensionando as principais unidades de tratamento.
Dimensionar o diâmetro da adutora, considerando:
\mathrm{n}=0,013 e \mathrm{I}=0,001 \mathrm{~m} / \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado pede: pré-dimensionar um Sistema de Tratamento de Água (STA) para o município de Pontal do Paraná com horizonte de 30 anos, dimensionando as principais unidades de tratamento, e dimensionar o diâmetro da adutora. O enunciado dá explicitamente dois parâmetros hidráulicos da adutora: \mathrm{n}=0{,}013 e \mathrm{I}=0{,}001\\ \mathrm{m/m}.
Informações/valores que o enunciado NÃO forneceu, e que são essenciais para um cálculo numérico único:
  • população atual (ano base) do município ( P_0);
  • taxa anual de crescimento populacional ( g) ou projeção populacional detalhada;
  • consumo per capita de projeto ( q_{pc}) ou critério adotado (L/hab·d);
  • percentual de perdas/água não faturada a considerar;
  • fator de ponta (pico diário ou horário) a ser adotado para transformar vazão média em vazão de projeto;
  • comprimento da adutora (não estritamente necessário para o diâmetro, mas necessário para bombas e queda de carga total);
  • critérios de dimensionamento das unidades do STA (tempos de detenção típicos, velocidade de filtração, profundidades, número de unidades, etc.).
Conclusão do passo 1: com os dados fornecidos apenas é possível apresentar o método completo, as fórmulas e o procedimento passo a passo para obter todas as grandezas; para obter um valor numérico do diâmetro da adutora é necessário conhecer a vazão de projeto Q (resultante da estimativa de demanda). Assim, a resolução abaixo apresenta (1) o método para projetar população e demanda, (2) o pré-dimensionamento das unidades do STA com fórmulas e valores típicos usados em projeto, (3) a dedução algébrica da fórmula para o diâmetro da adutora usando a fórmula de Manning e (4) um exemplo numérico ilustrativo com hipóteses explícitas para mostrar como fazer na prova.

Passo 2

Como obter a vazão de projeto Q do município no horizonte de 30 anos (passo-a-passo didático).
  1. Projetar a população em 30 anos:
  • Definir P_0 = população atual (valor que deve vir do enunciado ou do censo).
  • Definir taxa anual de crescimento g em forma decimal (por exemplo, g=0{,}015 para 1{,}5\% ao ano).
  • População projetada em 30 anos:
P_{30} = P_0 (1+g)^{30}.
Explicação: essa é a fórmula de crescimento geométrico anual composto. Cada ano multiplica a população por (1+g); ao repetir por 30 anos, eleva-se à potência 30.
  1. Calcular a demanda média diária bruta:
  • Definir consumo per capita de projeto \,q_{pc}\, em \mathrm{L/hab\cdot d}.
  • Demanda média diária (em L/d):
Q_{méd\\ (\mathrm{L/d})} = P_{30}\cdot q_{pc}.é
  • Em \mathrm{m^3/d} dividir por 1000:
Q_{méd} = \dfrac{P_{30}\,q_{pc}}{1000}\quad (\mathrm{m^3/d}).é
  1. Introduzir perdas (não contabilizadas, vazões técnicas) e obter vazão comercial/bruta:
  • Definir fator de perdas f_{perdas} (por exemplo 0{,}3 para 30\% de perdas).
  • Vazão após perdas:
Q_{bruta} = Q_{méd}\,(1+f_{perdas}).é
Explicação: se há 30% de perdas, multiplicamos a demanda por 1,30.
  1. Aplicar fator de ponta (para assegurar atendimento nas horas de maior consumo):
  • Definir fator de ponta k (unitário; por exemplo k=1{,}6 para ponta diária, ou maior se se projetar ponta horária).
  • Vazão de projeto (vazão de projeto da adutora e do STA), em \mathrm{m^3/d}:
Q_{proj} = Q_{bruta}\,k.
  • Converter para \mathrm{m^3/s} quando for necessária na equação de escoamento:
Q_{proj\\ (m^3/s)} = \dfrac{Q_{proj}}{86400}.
Observações sobre escolhas típicas (valores a justificar em prova):
  • q_{pc} em municípios brasileiros costuma variar entre 150 e 250\\ \mathrm{L/hab\cdot d} dependendo do padrão; usar o valor recomendado no enunciado ou justificar com dados locais.
  • f_{perdas} (perdas comerciais) tipicamente 20\%–40\% em muitos municípios; justificar conforme contexto.
  • fator de ponta k: para vazão média diária para obras públicas usa-se k entre 1{,}4 e 2{,}0 (populações maiores tendem a ter k menor). Para ponta horária usar fatores maiores (até 3 em cidades pequenas). Em prova explique e escolha um valor conservador.

Passo 3

Pré-dimensionamento das principais unidades do Sistema de Tratamento de Água — explicação conceitual e fórmulas.
Vou listar as unidades típicas, o que dimensionar em cada uma e as fórmulas mais usadas (com valores típicos). Em prova, para cada parâmetro adotado justifique com literatura ou normas.
  1. Captação / tomada d’água bruta
  • Vazão nominal da tomada deve ser igual ou maior que Q_{proj}.
  • Projeto costuma prever comportas e telas para remoção grosseira; dimensionamento hidráulico das entradas feito conforme velocidade máxima admissível na tomada (ex.: v_{entrada}=0{,}3\text{ a }0{,}6\\ \mathrm{m/s}), a fim de limitar sucção de sedimentos e fauna.
  1. Adutor (já pedido): transportar Q_{proj} até ETA. O diâmetro será obtido pela equação de Manning (ver Passo 5).
  2. Reservatório de adução / reservatório bruto (se necessário)
  • Volume para regularização operacional, segurança em manutenção etc. Pode-se adotar V_{res} = \alpha \cdot Q_{méd}é onde \alpha é horas de armazenamento (por ex. 4 a 24 h) dependendo da estratégia.
  1. Coagulação e floculação
  • Vazão: Q_{proj}.
  • Tanques de mistura rápida (coagulação) — tempo curto, típicamente t_{mix} entre 0{,}5 e 2 minutos.
  • Tanques de floculação — tempos típicos t_{floc}=20 a 40 minutos, com número de compartimentos para promover decrescimento de velocidade.
  • Volume de floculação:
V_{floc} = Q_{proj\\ (m^3/h)} \cdot t_{floc\\ (h)}.
Observação: converter Q_{proj} para \mathrm{m^3/h} dividindo \mathrm{m^3/d} por 24.
  1. Decantação (clarificação / sedimentadores)
  • Escolher tipo (retangulares ou circulares). Critério clássico de dimensionamento por tempo de detenção hidráulica t_d (ex.: 2 a 4 horas) ou por taxa superficial de overflow (TSO).
  • Usando tempo de detenção:
V_{dec} = Q_{proj\\ (m^3/h)}\cdot t_{d\\ (h)}.
  • Se usar TSO (m3/m2·h):
\text{Área necessária} = \dfrac{Q_{proj\\ (m^3/h)}}{\text{TSO (m^3/m^2\cdot h)}}.Áá
Valores típicos de TSO: 0{,}5 1{,}0\\ \mathrm{m^3/m^2\cdot h} para decantadores convencionais.
  1. Filtração (filtros de areia lenta ou rápida)
  • Usar taxa de filtração superficial v_f em \mathrm{m^3/m^2\cdot h}.
  • Área total de filtro:
A_{filt} = \dfrac{Q_{proj\\ (m^3/h)}}{v_f}.
Valores típicos: filtros rápidos de areia: v_f=5 a 15\\ \mathrm{m^3/m^2\cdot h}; escolha baseada em qualidade da água tratada e critérios normativos. A profundidade de cama filtrante e número de filtros depende do layout e manutenção (normalmente projetam-se filtros modulares com área padrão 15–25 m^2 cada).
  1. Desinfecção
  • Dimensiona-se a vazão e a câmara de contato para garantir tempo de contato mínimo t_c (por exemplo 30 min a 60 min a montante do reservatório de distribuição, dependendo do agente desinfetante e da demanda de cloro).
  • Volume de câmara:
V_{desinf} = Q_{proj\\ (m^3/h)} \cdot t_{c\\ (h)}.
  1. Reservatório de água tratada (reservatório de distribuição)
  • Volume de reserva para garantia de abastecimento noturno, incêndio e emergência. Critério típico: 24 a 48 horas de consumo médio ou uma combinação: volume operacional (6–12 h) + volume para incêndio + volume para reservatório morto. Ex.: V_{res\_trat} = Q_{méd} \cdot 24\\ \mathrm{h}é ou conforme norma local.
Observação geral: todos os volumes e áreas acima dependem de Q_{proj}. Em prova, explique cada escolha de t_d, v_f, t_{floc} e v_f e cite referências (manuales, normas da concessionária, etc.).

Passo 4

Fórmula de Manning aplicada a condutos circulares cheios e dedução algébrica para o diâmetro D. Explicação didática:
A fórmula de Manning para escoamento uniforme em canal/conduto cheio é:
Q = \dfrac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s});
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional), dado no enunciado \,n=0{,}013;
  • A é a área da seção transversal ( \mathrm{m^2});
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), R=A/P com P perímetro molhado;
  • S é a declividade da linha de centro (gradiente hidráulico), igual ao enunciado \,I=0{,}001 (m/m).
Para um tubo circular cheio:
  • Área:
A = \dfrac{\pi D^2}{4}.
  • Perímetro molhado:
P = \pi D.
  • Raio hidráulico:
R = \dfrac{A}{P} = \dfrac{\pi D^2/4}{\pi D} = \dfrac{D}{4}.
Substituindo em Manning:
Q = \dfrac{1}{n}\left(\dfrac{\pi D^2}{4}\right)\left(\dfrac{D}{4}\right)^{2/3} S^{1/2}.
Simplificando potências de D:
Q = \dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{\pi}{4} \cdot D^{2}\cdot \left(\dfrac{D^{2/3}}{4^{2/3}}\right) S^{1/2} = \dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{\pi}{4^{5/3}} \cdot D^{8/3} \cdot S^{1/2}.
Isolando D^{8/3}:
D^{8/3} = Q \cdot n \cdot \dfrac{4^{5/3}}{\pi S^{1/2}}.
Tomando potência 3/8 em ambos os lados para obter D:
\boxed{\,D \;=\; \left( Q\,n\,\dfrac{4^{5/3}}{\pi\,S^{1/2}}\right)^{3/8}\, }
Essa é a fórmula prática que se usa para calcular o diâmetro D de um conduto circular cheio em escoamento uniforme a partir de Q, n e S. Nota didática: todas as unidades devem ser SI (Q em \mathrm{m^3/s}, S adimensional, n adimensional) para obter D em metros.

Passo 5

Exemplo numérico ilustrativo (hipóteses explícitas) — mostra como aplicar na prova se os dados fossem fornecidos ou se for necessário usar hipóteses justificadas.
Hipóteses assumidas (APENAS PARA EXEMPLIFICAR; substituir pelos dados reais do enunciado):
  • população atual P_0 = 17\,000 hab;
  • taxa anual de crescimento g = 0{,}015 (1,5% a.a.);
  • consumo per capita de projeto q_{pc} = 200\\ \mathrm{L/hab\cdot d};
  • perdas f_{perdas}=0{,}4 (40%);
  • fator de ponta k=1{,}6 (ponta diária);
  • dados hidráulicos da adutora: n=0{,}013, S=I=0{,}001 (dados do enunciado).
  1. População em 30 anos:
P_{30} = 17\,000\cdot (1+0{,}015)^{30}.
Calculo (passo a passo):
  • (1{,}015)^{30}\approx 1{,}563 (usar log ou tabela em prova; aqui mostra o resultado).
  • P_{30} \approx 17\,000 \times 1{,}563 = 26\,571\\ \text{hab}.
  1. Demanda média diária:
Q_{méd} = \dfrac{P_{30}\,q_{pc}}{1000} = \dfrac{26\,571 \times 200}{1000} = 5\,314{,}2\\ \mathrm{m^3/d}.é
  1. Considerando perdas:
Q_{bruta} = Q_{méd}(1+f_{perdas}) = 5\,314{,}2 \times 1{,}4 = 7\,439{,}9\\ \mathrm{m^3/d}.é
  1. Aplicando fator de ponta:
Q_{proj} = Q_{bruta}\,k = 7\,439{,}9 \times 1{,}6 = 11\,903{,}9\\ \mathrm{m^3/d}.
  1. Converter para \mathrm{m^3/s}:
Q = \dfrac{11\,903{,}9}{86\,400} \approx 0{,}1378\\ \mathrm{m^3/s}.
  1. Calcular o diâmetro pela fórmula deduzida (usar n=0{,}013, S=0{,}001):
D = \left( Q\,n\,\dfrac{4^{5/3}}{\pi\,S^{1/2}}\right)^{3/8}.
Avaliação numérica passo a passo:
  • 4^{5/3}\approx 10{,}079 (pode calcular por logaritmo ou exponenciação).
  • S^{1/2}=\sqrt{0{,}001}=0{,}0316228.
  • Numerador interno: Q\,n\,4^{5/3} = 0{,}1378 \times 0{,}013 \times 10{,}079 \approx 0{,}01805.
  • Denominador interno: \pi\,S^{1/2} \approx 3{,}1416 \times 0{,}0316228 \approx 0{,}09947.
  • Razão interna: \dfrac{0{,}01805}{0{,}09947}\approx 0{,}1815.
  • Potência 3/8=0{,}375: D \approx (0{,}1815)^{0{,}375}\approx 0{,}528\\ \mathrm{m}.
Conclusão do exemplo: diâmetro calculado D\approx 0{,}528\\ \mathrm{m}. Em projetos pratica-se adotar um diâmetro comercial comercialmente disponível um pouco superior — por exemplo selecionar tubo de 600\\ \mathrm{mm} (0,60 m) para deixar margem e facilitar operações e fabricação.

Passo 6

Como apresentar a solução na prova (resumo prático do procedimento que vale ponto):
  1. Liste os dados fornecidos pelo enunciado e as incógnitas que faltam; se faltar P_0 ou g, declare a necessidade desses dados.
  2. Calcule P_{30}=P_0(1+g)^{30}.
  3. Calcule Q_{méd}=P_{30}q_{pc}/1000é e aplique perdas: Q_{bruta}=Q_{méd}(1+f_{perdas})é.
  4. Aplique fator de ponta k: Q_{proj}=Q_{bruta}k. Converta para \mathrm{m^3/s}.
  5. Use a fórmula de Manning derivada:
D = \left( Q\,n\,\dfrac{4^{5/3}}{\pi\,S^{1/2}}\right)^{3/8}.
  1. Calcule e escolha o diâmetro comercial imediatamente superior.
  2. Use Q_{proj} para dimensionar volumes e áreas das unidades do STA conforme as fórmulas do Passo 3 (ex.: V_{dec}=Q_{m^3/h}\,t_d; A_{filt}=Q_{m^3/h}/v_f etc.). Sempre explique a escolha dos parâmetros (tempos, taxas, profundidades).

Resposta

Não é possível determinar numericamen te o diâmetro da adutora sem os dados de população atual P_0, taxa de crescimento g, consumo per capita q_{pc}, perdas f_{perdas} e fator de ponta k.
Fórmula geral para usar na prova:
D = \left( Q\,n\,\dfrac{4^{5/3}}{\pi\,S^{1/2}}\right)^{3/8},
onde Q é a vazão de projeto em \mathrm{m^3/s}, n=0{,}013 e S=I=0{,}001 (dados do enunciado).
Exemplo ilustrativo (hipóteses explicadas no texto): com P_0=17\,000, g=1{,}5\%, q_{pc}=200\\ \mathrm{L/hab\cdot d}, perdas 40\% e k=1{,}6, obtém‑se Q\approx0{,}1378\\ \mathrm{m^3/s} e, aplicando a fórmula, D\approx0{,}528\\ \mathrm{m} (adotar comercialmente 600\\ \mathrm{mm}).

Exercícios relacionados