Realize a avaliação semântica das sentenças a seguir, classificando-as em uma das categorias: Tautologia, Contradição e Satisfatível, exibindo o passo a passo que justifique sua resposta.
(\mathrm{P} \rightarrow \mathrm{Q}) \wedge(\neg \mathrm{P} \rightarrow \mathrm{R})

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique semanticamente a fórmula lógica
(\,P \to Q\,)\land(\,\neg P \to R\,)
em uma das categorias: Tautologia, Contradição ou Satisfatível.
Informações dadas: a própria fórmula com as proposições P, Q e R.
Objetivo nesta resolução: justificar passo a passo por que a fórmula é Tautologia, Contradição ou Satisfatível.

Passo 2

Relembrando a definição e uma equivalência útil sobre implicação (mini-aula rápida e necessária). A implicação A\to B é verdadeira em todos os casos, exceto quando A é verdadeira e B é falsa. Uma equivalência lógica muito usada é
A\to B \equiv \neg A \lor B.
Aqui isso nos permite reescrever cada implicação da fórmula. Aplicando a equivalência temos
P\to Q \equiv \neg P \lor Q \qquad\text{e}\qquad \neg P \to R \equiv \neg(\neg P)\lor R \equiv P \lor R.

Passo 3

Substituindo na fórmula original, obtemos uma forma em termos de disjunções e conjunções:
(\,P \to Q\,)\land(\,\neg P \to R\,) \equiv (\neg P \lor Q)\land(P \lor R).
Esta forma é mais fácil de manipular com leis algébricas da lógica (distributiva, comutativa etc.).

Passo 4

Agora vou desenvolver a expressão usando a distributividade para entender quando ela é verdadeira. Usando a lei distributiva
(A\lor B)\land(C\lor D) \equiv (A\land C)\lor(A\land D)\lor(B\land C)\lor(B\land D),
aplicando com A=\neg P, B=Q, C=P, D=R, obtemos
(\neg P \lor Q)\land(P \lor R) \equiv (\neg P\land P)\lor(\neg P\land R)\lor(Q\land P)\lor(Q\land R).
Note que \neg P\land P é sempre falso (contradição). Eliminando esse termo falso:
(\neg P \lor Q)\land(P \lor R) \equiv (\neg P\land R)\lor(P\land Q)\lor(Q\land R).

Passo 5

Interpretação semântica do resultado do passo anterior (mini-aula sobre satisfatibilidade/tautologia/contradição):
  • Uma fórmula é Tautologia se for verdadeira em todas as atribuições de valores lógicos para as proposições.
  • É Contradição se for falsa em todas as atribuições.
  • É Satisfatível se existe pelo menos uma atribuição que a torna verdadeira (pode ser verdadeira em algumas e falsa em outras).
A forma
(\neg P\land R)\lor(P\land Q)\lor(Q\land R)
torna explícitos casos que fazem a fórmula verdadeira: basta que pelo menos um dos três termos seja verdadeiro:
  • \neg P\land R verdadeiro quando P=\bot e R=\top;
  • P\land Q verdadeiro quando P=\top e Q=\top;
  • Q\land R verdadeiro quando Q=\top e R=\top.
Portanto já se vê que existem atribuições que tornam a fórmula verdadeira (por exemplo P=\top,Q=\top,R=\bot ou P=\bot,Q=\bot,R=\top), então a fórmula não pode ser contradição.

Passo 6

Exemplos concretos (contraexemplos para testar tautologia/contradição):
  1. Mostrar que não é Tautologia: encontro uma atribuição que torna a fórmula falsa. Tome
P=\top,\quad Q=\bot,\quad R=\bot.
Avaliar a fórmula original:
P\to Q = \top \to \bot = \bot, \qquad \neg P \to R = \bot \to \bot = \top,
logo o conjuto é \bot\land\top=\bot. Assim existe atribuição que faz a fórmula falsa, logo não é tautologia.
  1. Mostrar que não é Contradição: encontro uma atribuição que torna a fórmula verdadeira. Tome
P=\top,\quad Q=\top,\quad R=\bot.
Avaliar:
P\to Q = \top\to\top=\top, \qquad \neg P\to R = \bot\to\bot=\top,
logo \top\land\top=\top. Assim existe atribuição que faz a fórmula verdadeira, logo não é contradição.

Passo 7

Conclusão lógica com base nas observações e exemplos: a fórmula tem algumas atribuições que a tornam verdadeira e outras que a tornam falsa. Isso significa que ela é Satisfatível (existe pelo menos uma atribuição que satisfaz a fórmula), mas não é Tautologia nem Contradição.

Resposta

Satisfatível

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