Realize a avaliação semântica das sentenças a seguir, classificando-as em uma das categorias: Tautologia, Contradição e Satisfatível, exibindo o passo a passo que justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique semanticamente a fórmula lógica
em uma das categorias: Tautologia, Contradição ou Satisfatível.
Informações dadas: a própria fórmula com as proposições ,
e
.
Objetivo nesta resolução: justificar passo a passo por que a fórmula é Tautologia, Contradição ou Satisfatível.
Informações dadas: a própria fórmula com as proposições
Objetivo nesta resolução: justificar passo a passo por que a fórmula é Tautologia, Contradição ou Satisfatível.
Passo 2
Relembrando a definição e uma equivalência útil sobre implicação (mini-aula rápida e necessária). A implicação
é verdadeira em todos os casos, exceto quando
é verdadeira e
é falsa. Uma equivalência lógica muito usada é
Aqui isso nos permite reescrever cada implicação da fórmula. Aplicando a equivalência temos
Passo 3
Substituindo na fórmula original, obtemos uma forma em termos de disjunções e conjunções:
Esta forma é mais fácil de manipular com leis algébricas da lógica (distributiva, comutativa etc.).
Passo 4
Agora vou desenvolver a expressão usando a distributividade para entender quando ela é verdadeira. Usando a lei distributiva
aplicando com
,
,
,
, obtemos
Note que
é sempre falso (contradição). Eliminando esse termo falso:
Passo 5
Interpretação semântica do resultado do passo anterior (mini-aula sobre satisfatibilidade/tautologia/contradição):
- Uma fórmula é Tautologia se for verdadeira em todas as atribuições de valores lógicos para as proposições.
- É Contradição se for falsa em todas as atribuições.
- É Satisfatível se existe pelo menos uma atribuição que a torna verdadeira (pode ser verdadeira em algumas e falsa em outras).
A forma
torna explícitos casos que fazem a fórmula verdadeira: basta que pelo menos um dos três termos seja verdadeiro:
-
verdadeiro quando e ; -
verdadeiro quando e ; -
verdadeiro quando e .
Portanto já se vê que existem atribuições que tornam a fórmula verdadeira (por exemplo
ou
), então a fórmula não pode ser contradição.
Passo 6
Exemplos concretos (contraexemplos para testar tautologia/contradição):
- Mostrar que não é Tautologia: encontro uma atribuição que torna a fórmula falsa. Tome
Avaliar a fórmula original:
logo o conjuto é
. Assim existe atribuição que faz a fórmula falsa, logo não é tautologia.
- Mostrar que não é Contradição: encontro uma atribuição que torna a fórmula verdadeira. Tome
Avaliar:
logo
. Assim existe atribuição que faz a fórmula verdadeira, logo não é contradição.
Passo 7
Conclusão lógica com base nas observações e exemplos: a fórmula tem algumas atribuições que a tornam verdadeira e outras que a tornam falsa. Isso significa que ela é Satisfatível (existe pelo menos uma atribuição que satisfaz a fórmula), mas não é Tautologia nem Contradição.
Resposta
Satisfatível