Realize a avaliação semântica das sentenças a seguir, classificando-as em uma das categorias: Tautologia, Contradição e Satisfatível, exibindo o passo a passo que justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede que se faça a avaliação semântica da sentença lógica e a classifique em uma das categorias: Tautologia, Contradição ou Satisfatível.
A fórmula dada é
As perguntas que precisamos responder:
- Esta fórmula é verdadeira em todas as interpretações (Tautologia)?
- É falsa em todas as interpretações (Contradição)?
- Ou é verdadeira em algumas interpretações e falsa em outras (Satisfatível)?
Vou mostrar passo a passo como analisar isso.
Passo 2
Definições essenciais (bem mastigadas):
- Uma fórmula é uma Tautologia se, para toda valoração de verdade das proposições atômicas, a fórmula avalia como verdadeira.
- Uma fórmula é uma Contradição se, para toda valoração, ela avalia como falsa.
- Uma fórmula é Satisfatível se existe ao menos uma valoração em que ela é verdadeira (isso inclui tautologias, que são um caso especial de satisfatibilidade, mas aqui a classificação pedida é exclusiva: se não for tautologia nem contradição, chamamos de satisfatível).
Também preciso usar a semântica do conectivo condicional e dos demais conectivos:
- A implicação
é falsa somente quando é verdadeira e é falsa; em todos os outros casos ela é verdadeira. - A negação
inverte o valor de . - A conjunção
é verdadeira somente se e forem ambos verdadeiros.
Passo 3
Vou calcular a tabela de verdade completa da fórmula. Para duas proposições atômicas
e
existem quatro valorações possíveis. Em cada valoração vou computar, na ordem conveniente,
,
e finalmente
.
Passo 4
Construção explícita das quatro linhas (cada linha mostra
, depois
, depois
, depois o valor final):
- Para
:
-
. -
. -
.
- Para
:
-
. -
. -
.
- Para
:
-
. -
. -
.
- Para
:
-
. -
. -
.
Resumo dos valores finais por linha:
.
Passo 5
Interpretação parcial dos resultados da tabela (sem rotular ainda): a fórmula é verdadeira em algumas valorações (linhas 3 e 4) e falsa em outras (linhas 1 e 2). Portanto ela não é verdadeira em todas as valorações nem falsa em todas. Mas vou reforçar a compreensão através de uma simplificação algébrica que mostra quando exatamente a fórmula é verdadeira.
Passo 6
Simplificação lógica por equivalências (cada passo usa uma lei conhecida):
A fórmula original é
Usando a equivalência da implicação
, obtemos
Aplicando a distributiva (ou fatorando
) escrevemos
Mas
é simplesmente
, então fica
Reescrevendo (comutativa/associativa) como
Agora aplicamos a lei da absorção
, com
, obtendo
Portanto a fórmula é logicamente equivalente a
. Isso confirma o que vimos na tabela: a fórmula é verdadeira exatamente quando
é verdadeira (isto é, quando
é falso), e falsa exatamente quando
é verdadeiro.
Passo 7
Conclusões que prepararam a resposta final (sem rotular a fórmula ainda):
- A fórmula avalia como verdadeira em algumas valorações e falsa em outras (da tabela: verdade nas linhas em que
é falso; falsidade nas linhas em que é verdadeiro). - A fórmula é equivalente a
, portanto não é verdadeira para todas as valorações e não é falsa para todas as valorações.
Resposta
Satisfatível