Realize a avaliação semântica das sentenças a seguir, classificando-as em uma das categorias: Tautologia, Contradição e Satisfatível, exibindo o passo a passo que justifique sua resposta.
\mathrm{Q} \rightarrow(\mathrm{P} \wedge \neg \mathrm{Q})

Passo 1

O enunciado pede que se faça a avaliação semântica da sentença lógica e a classifique em uma das categorias: Tautologia, Contradição ou Satisfatível.
A fórmula dada é
Q \rightarrow (P \wedge \neg Q).
As perguntas que precisamos responder:
  • Esta fórmula é verdadeira em todas as interpretações (Tautologia)?
  • É falsa em todas as interpretações (Contradição)?
  • Ou é verdadeira em algumas interpretações e falsa em outras (Satisfatível)?
Vou mostrar passo a passo como analisar isso.

Passo 2

Definições essenciais (bem mastigadas):
  • Uma fórmula é uma Tautologia se, para toda valoração de verdade das proposições atômicas, a fórmula avalia como verdadeira.
  • Uma fórmula é uma Contradição se, para toda valoração, ela avalia como falsa.
  • Uma fórmula é Satisfatível se existe ao menos uma valoração em que ela é verdadeira (isso inclui tautologias, que são um caso especial de satisfatibilidade, mas aqui a classificação pedida é exclusiva: se não for tautologia nem contradição, chamamos de satisfatível).
Também preciso usar a semântica do conectivo condicional e dos demais conectivos:
  • A implicação \;A \rightarrow B\; é falsa somente quando A é verdadeira e B é falsa; em todos os outros casos ela é verdadeira.
  • A negação \neg A inverte o valor de A.
  • A conjunção A \wedge B é verdadeira somente se A e B forem ambos verdadeiros.

Passo 3

Vou calcular a tabela de verdade completa da fórmula. Para duas proposições atômicas P e Q existem quatro valorações possíveis. Em cada valoração vou computar, na ordem conveniente, \neg Q, P \wedge \neg Q e finalmente Q \rightarrow (P \wedge \neg Q).

Passo 4

Construção explícita das quatro linhas (cada linha mostra (P,Q), depois \neg Q, depois P \wedge \neg Q, depois o valor final):
  1. Para (P=\text{V},\;Q=\text{V}):
  • \neg Q = \text{F}.
  • P \wedge \neg Q = \text{V} \wedge \text{F} = \text{F}.
  • Q \rightarrow (P \wedge \neg Q) = \text{V} \rightarrow \text{F} = \text{F}.
  1. Para (P=\text{F},\;Q=\text{V}):
  • \neg Q = \text{F}.
  • P \wedge \neg Q = \text{F} \wedge \text{F} = \text{F}.
  • Q \rightarrow (P \wedge \neg Q) = \text{V} \rightarrow \text{F} = \text{F}.
  1. Para (P=\text{V},\;Q=\text{F}):
  • \neg Q = \text{V}.
  • P \wedge \neg Q = \text{V} \wedge \text{V} = \text{V}.
  • Q \rightarrow (P \wedge \neg Q) = \text{F} \rightarrow \text{V} = \text{V}.
  1. Para (P=\text{F},\;Q=\text{F}):
  • \neg Q = \text{V}.
  • P \wedge \neg Q = \text{F} \wedge \text{V} = \text{F}.
  • Q \rightarrow (P \wedge \neg Q) = \text{F} \rightarrow \text{F} = \text{V}.
Resumo dos valores finais por linha: \text{F},\\ \text{F},\\ \text{V},\\ \text{V}.

Passo 5

Interpretação parcial dos resultados da tabela (sem rotular ainda): a fórmula é verdadeira em algumas valorações (linhas 3 e 4) e falsa em outras (linhas 1 e 2). Portanto ela não é verdadeira em todas as valorações nem falsa em todas. Mas vou reforçar a compreensão através de uma simplificação algébrica que mostra quando exatamente a fórmula é verdadeira.

Passo 6

Simplificação lógica por equivalências (cada passo usa uma lei conhecida):
A fórmula original é
Q \rightarrow (P \wedge \neg Q).
Usando a equivalência da implicação \;A \rightarrow B \equiv \neg A \vee B\;, obtemos
\neg Q \vee (P \wedge \neg Q).
Aplicando a distributiva (ou fatorando \neg Q) escrevemos
(\neg Q \vee P) \wedge (\neg Q \vee \neg Q).
Mas \neg Q \vee \neg Q é simplesmente \neg Q, então fica
(\neg Q \vee P) \wedge \neg Q.
Reescrevendo (comutativa/associativa) como
\neg Q \wedge (\neg Q \vee P).
Agora aplicamos a lei da absorção X \wedge (X \vee Y) \equiv X, com X=\neg Q, obtendo
\neg Q.
Portanto a fórmula é logicamente equivalente a \neg Q. Isso confirma o que vimos na tabela: a fórmula é verdadeira exatamente quando \neg Q é verdadeira (isto é, quando Q é falso), e falsa exatamente quando Q é verdadeiro.

Passo 7

Conclusões que prepararam a resposta final (sem rotular a fórmula ainda):
  • A fórmula avalia como verdadeira em algumas valorações e falsa em outras (da tabela: verdade nas linhas em que Q é falso; falsidade nas linhas em que Q é verdadeiro).
  • A fórmula é equivalente a \neg Q, portanto não é verdadeira para todas as valorações e não é falsa para todas as valorações.

Resposta

Satisfatível

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