Realize o balanço de massa e entalpia para o processo geral de umidificação.

Passo 1

O que o enunciado pede: realizar o balanço de massa e o balanço de entalpia para o processo geral de umidificação (fluxo de ar seco que recebe/perde vapor de água através de adição/evaporação/condensação de água líquida e possível troca de calor com o ambiente).
Informações e variáveis relevantes (vou definir todas para depois usar):
\dot m_a = vazão mássica de ar seco (kg/s) — na maioria dos problemas de umidificação essa quantidade é conservada no processo.
\dot m_v = vazão mássica de vapor d’água (kg/s) presente na corrente de ar (varia entre entrada e saída).
\dot m_l = vazão mássica de água líquida adicionada ao sistema (kg/s). Pode ser positiva (adição/evaporação) ou negativa (remoção/condensação).
W = razão de mistura (humidity ratio), definida como massa de vapor por massa de ar seco (kg vapor/kg ar seco). Assim \dot m_v = \dot m_a W.
Indices 1 e 2 indicam condições de entrada e saída do sistema: W_1, T_1, h_1 e W_2, T_2, h_2.
T_l = temperatura da água líquida adicionada.
h = entalpia específica por unidade de massa de ar seco (kJ/kg ar seco) — entalpia do ar úmido, que inclui a entalpia do ar seco e do vapor.
h_l = entalpia específica da água líquida (kJ/kg água líquida).
\dot Q = taxa de calor trocado com o sistema (kW ou kJ/s), positivo se calor fornecido ao ar.
O objetivo imediato: escrever as equações de balanço de massa (ar seco e água) e o balanço de energia (entalpia) em forma geral, explicar cada termo e mostrar como essas equações são usadas (casos especiais).

Passo 2

Balanço de massa do ar seco (fácil e importante): o ar seco não é criado nem destruído pelo processo de umidificação (não há reação química). Logo, em regime estacionário
\dot m_{a,\text{in}}=\dot m_{a,\text{out}}=\dot m_a.
Explicação didática: pense no ar seco como “etiqueta” que acompanha o sistema — a massa de ar seco que entra por segundo é a mesma que sai.

Passo 3

Balanço de massa da água (vapor + líquida): a massa de vapor na corrente de saída é igual à massa de vapor na entrada mais a massa líquida que foi adicionada (se a água adicionada evaporou) ou menos a massa liquefeita (se houve condensação). Em forma de vazões mássicas, usando \dot m_v=\dot m_a W,
\dot m_{a}W_{2}=\dot m_{a}W_{1}+\dot m_{l}.
Isolando \dot m_{l},
\dot m_{l}=\dot m_a\,(W_{2}-W_{1}).
Explicação: W é massa vapor por massa ar seco, então multiplicando por \dot m_a obtemos vazão mássica de vapor. A diferença entre saída e entrada deve ser igual à água líquida que entrou (ou saiu).

Passo 4

Definição prática e física da entalpia específica do ar úmido (por kg de ar seco): para fazer o balanço de entalpia é muito útil usar a entalpia por unidade de massa de ar seco. Definimos
h = h_a + W\,h_v,
onde h_a é a entalpia específica do ar seco (kJ/kg ar seco) e h_v é a entalpia específica do vapor d’água (kJ/kg vapor), ambos medidos em relação ao mesmo referencial. Em aproximações usuais:
h_a \approx c_{pa}\,T, \qquad h_v \approx c_{pw}\,T + r(T),
onde c_{pa} é o calor específico do ar (aprox. 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}), c_{pw} é o calor específico da água líquida (aprox. 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}) e r(T) é a entalpia de vaporização (latente) a temperatura T (aprox. 2500\\ \mathrm{kJ/kg} na faixa ambiente, varia com T). Então podemos escrever, de forma útil:
\boxed{\,h = c_{pa}T + W\bigl(c_{pw}T + r(T)\bigr)\,}
Explicação passo a passo: a entalpia do ar úmido por kg de ar seco é a soma da entalpia do ar seco mais a entalpia do vapor contido, e a entalpia do vapor é a entalpia da água líquida àquela temperatura mais a energia necessária para vaporizar (latente). Essa forma permite calcular mudanças de entalpia quando T e W mudam.

Passo 5

Balanço de entalpia geral (regime estacionário, control volume): energia entrando = energia saindo. Em termos de vazões e entalpias (por kg de ar seco e por kg de água líquida),
\dot m_a\,h_{1} + \dot m_{l}\,h_l + \dot Q = \dot m_a\,h_{2}.
Explicação de cada termo: \dot m_a h_1 é a entalpia que o ar úmido leva ao entrar; \dot m_l h_l é a entalpia levada pela água líquida que entra (se houver); \dot Q é calor externo adicionado ao volume; e \dot m_a h_2 é a entalpia que sai com o ar úmido de saída. Reorganizando e dividindo por \dot m_a (para trabalhar por kg de ar seco) obtemos a forma conveniente:
\boxed{\,h_2 = h_1 + \frac{\dot m_l}{\dot m_a}\,h_l + \frac{\dot Q}{\dot m_a}\,}.

Passo 6

Combinação com o balanço de massa para eliminar \dot m_l: usando \dot m_l/\dot m_a = W_2-W_1 do Passo 3, substituímos na equação de energia do Passo 5:
\boxed{\,h_2 = h_1 + (W_2-W_1)\,h_l + \frac{\dot Q}{\dot m_a}\,}.
Agora, substituindo as expressões explícitas de h_1,h_2 do Passo 4, obtemos a forma totalmente explícita (útil para cálculo):
c_{pa}T_2 + W_2\bigl(c_{pw}T_2 + r(T_2)\bigr) = c_{pa}T_1 + W_1\bigl(c_{pw}T_1 + r(T_1)\bigr) + (W_2-W_1)\,h_l + \frac{\dot Q}{\dot m_a}.
Explicação: essa equação relaciona as entradas e saídas de temperatura e razão de mistura, a entalpia da água líquida adicionada e o calor trocado. É a equação mestra que você usa para resolver problemas: se três das variáveis finais forem conhecidas, resolve-se a quarta.

Passo 7

Expressões práticas para h_l e casos simples: normalmente a entalpia da água líquida é aproximada por
h_l \approx c_{pw}\,T_l,
se tomarmos referência zero em 0^\circC (ou ajustar para o mesmo referencial usado em r(T)). Assim a equação do passo anterior vira
c_{pa}T_2 + W_2\bigl(c_{pw}T_2 + r(T_2)\bigr) = c_{pa}T_1 + W_1\bigl(c_{pw}T_1 + r(T_1)\bigr) + (W_2-W_1)\,c_{pw}T_l + \frac{\dot Q}{\dot m_a}.
Dica didática: normalmente em problemas de prova você fará aproximações como r(T_1)\approx r(T_2)\approx r se as temperaturas não diferem muito, e pode assumir T_l=T_1 ou T_l=T_2 dependendo do dispositivo (por ex. água injetada a temperatura ambiente ou água pré-aquecida). Essas aproximações transformam a equação em algo linear em T_2 e W_2 que é resolvível à mão.

Passo 8

Casos especiais muito usados (resuma o uso prático):
  1. Para encontrar a vazão de água líquida necessária para alterar a umidade de W_1 para W_2 (sem se preocupar com calor):
\dot m_l = \dot m_a\,(W_2-W_1).
Explicação: diretamente do balanço de massa do Passo 3.
  1. Para calcular a taxa de calor \dot Q necessária (conhecendo estados 1 e 2 e \dot m_l):
\dot Q = \dot m_a\,(h_2-h_1) - \dot m_l\,h_l.
Explicação: rearranjo direto do balanço de energia do Passo 5.
  1. Processo adiabático sem troca de calor externo ( \dot Q=0), forma útil:
h_2 = h_1 + (W_2-W_1)\,h_l.
Com h expressos como no Passo 4, isso dá a relação entre T_2 e W_2 quando a água adicionada tem entalpia h_l. Em um adiabatic saturator típico, a água líquida injetada está próxima da temperatura do ar e evapora usando a energia térmica do ar, causando resfriamento do ar e aumento de W.

Passo 9

Exemplo didático curto (sem números): suponha que você conheça T_1,W_1,\dot m_a, deseje W_2 e conhece que a água é injetada líquida à temperatura T_l e que não há calor externo ( \dot Q=0). A sequência para resolver na prova é:
  • usar \dot m_l = \dot m_a(W_2-W_1) (mas aqui W_2 é desconhecido);
  • escrever energia por kg ar seco com \dot Q=0:
c_{pa}T_2 + W_2\bigl(c_{pw}T_2 + r(T_2)\bigr) = c_{pa}T_1 + W_1\bigl(c_{pw}T_1 + r(T_1)\bigr) + (W_2-W_1)c_{pw}T_l.
  • se além disso a água entra praticamente à mesma temperatura do ar e as variações de r(T) são pequenas, faça aproximações T_l\approx T_2 e r(T_1)\approx r(T_2), simplifique e resolva a equação resultante para a incógnita W_2 ou T_2 conforme a situação.
    Comentário de amigo: sei que parece muita contabilidade (massa + energia), mas é sempre a mesma receita: escreva as duas equações, escolha quais incógnitas você tem, e isole. Com prática fica mecânico.

Resposta

\dot m_{a,\text{in}}=\dot m_{a,\text{out}}=\dot m_a\n
\dot m_{l}=\dot m_a\,(W_{2}-W_{1})\n
\dot m_a\,h_{1} + \dot m_{l}\,h_l + \dot Q = \dot m_a\,h_{2}\n
com h = c_{pa}T + W\bigl(c_{pw}T + r(T)\bigr) e, substituindo \dot m_l/\dot m_a=W_2-W_1,\n
h_2 = h_1 + (W_2-W_1)\,h_l + \dfrac{\dot Q}{\dot m_a}\n
ou, explicitando,\n
c_{pa}T_2 + W_2\bigl(c_{pw}T_2 + r(T_2)\bigr) = c_{pa}T_1 + W_1\bigl(c_{pw}T_1 + r(T_1)\bigr) + (W_2-W_1)\,c_{pw}T_l + \dfrac{\dot Q}{\dot m_a}.

Exercícios relacionados