Temperatura de bulbo seco: 35^{\circ} \mathrm{C} e temperatura de bulbo úmido: 24^{\circ} \mathrm{C}
a) Calcule Pvs,Tbs e Pvs,Tbu sobre água líquida na faixa de 0 a 200^{\circ} \mathrm{C} em Pa .
\mathrm{Pvs}=\exp \left(\frac{C 8}{T}+C 9+C 10 T+C 11 T^{2}+C 12 T^{3}+C 13 \ln T\right)
A temperatura T é em kelvin e as constantes são:
\mathrm{C} 8=-5.8002206 \mathrm{E}+03 \mathrm{C} 10=-4.864023 \mathrm{E}-02 \mathrm{C} 12=-1.4452093 \mathrm{E}-08
\mathrm{C} 9=1.3914993 \mathrm{C} 11=4.176476 \mathrm{E}-05 \mathrm{C} 13=6.5459673
b)Umidade na saturação (Ws)
c)Razão ou conteúdo de umidade
\mathrm{w}=\frac{(2501-2.381 t b u) W s, T b u-(T b s-T b u)}{2501+1.805 T b s-4.186 T b u}
d) Grau de umidade
\mu=\left.\frac{W}{W s}\right|_{T, P}
e) Umidade relativa UR’

Passo 1

O enunciado dá as temperaturas de bulbo seco e úmido e pede várias quantidades psicrométricas. Vou listar o que foi dado e o que é pedido, sem resolver ainda.
  • Dados numéricos do enunciado:
    • Temperatura de bulbo seco: T_{bs}=35^{\circ}\mathrm{C}.
    • Temperatura de bulbo úmido: T_{bu}=24^{\circ}\mathrm{C}.
  • Equação para pressão de vapor de saturação sobre água líquida (em Pa): \mathrm{Pvs}=\exp\!\left(\frac{C8}{T}+C9+C10\,T+C11\,T^{2}+C12\,T^{3}+C13\,\ln T\right)onde a temperatura T deve ser em kelvin e as constantes são: C8=-5{,}8002206\times 10^{3},\quad C9=1{,}3914993,\quad C10=-4{,}864023\times 10^{-2},
C11=4{,}176476\times 10^{-5},\quad C12=-1{,}4452093\times 10^{-8},\quad C13=6{,}5459673.
  • Fórmula para umidade na saturação (razão de mistura saturada) usada posteriormente: W_s=\frac{0{,}622\;P_{vs}}{P-P_{vs}}em que P é a pressão total (não fornecida no enunciado). Vou assumir pressão atmosférica padrão P=101325\\ \mathrm{Pa} — isso é uma hipótese necessária quando o problema não dá P.
  • Fórmula fornecida para razão de umidade (conteúdo de umidade) usando bulbo úmido: w=\frac{(2501-2{,}381\,T_{bu})\,W_{s,T_{bu}}-(T_{bs}-T_{bu})}{2501+1{,}805\,T_{bs}-4{,}186\,T_{bu}}(aqui T_{bs} e T_{bu} em ^\circ\mathrm{C} e W_{s,T_{bu}} é W_s calculado à temperatura de bulbo úmido).
  • Grau de umidade (saturação em massa): \mu=\left.\frac{W}{W_s}\right|_{T,P}(usarei W_s à temperatura seca para comparar com W).
  • Umidade relativa UR' (em geral): UR'=\dfrac{p_v}{p_{vs}(T_{bs})}, onde p_v é a pressão parcial do vapor e p_{vs}(T_{bs}) a pressão de saturação à temperatura seca. Para obter p_v a partir de w usa-se p_v=\frac{w\,P}{0{,}622 + w}.
Resumo do que vou calcular:
a) \mathrm{Pvs} em T_{bs}=35^{\circ}\mathrm{C} e T_{bu}=24^{\circ}\mathrm{C} (em Pa).
b) W_s (saturado) usado no cálculo, especificamente W_{s,T_{bu}} (pois a fórmula de w pede esse valor).
c) Conteúdo de umidade w usando a fórmula dada.
d) Grau de umidade \mu = W/W_s (usarei W_s à temperatura seca T_{bs}).
e) Umidade relativa UR' calculada a partir de p_v e p_{vs}(T_{bs}).

Passo 2

Converter temperaturas para kelvin (porque a fórmula da Pvs exige kelvin) e calcular \mathrm{Pvs} em cada temperatura usando a fórmula fornecida. Vou calcular termo a termo para ser didático.
  • Conversões: T_{bs}=35^{\circ}\mathrm{C}\Rightarrow T_{bs,K}=35+273{,}15=308{,}15\\ \mathrm{K},
T_{bu}=24^{\circ}\mathrm{C}\Rightarrow T_{bu,K}=24+273{,}15=297{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Cálculo de \mathrm{Pvs} em T_{bs,K}=308{,}15\\ \mathrm{K}.
    Calculemos cada termo da exponencial: \frac{C8}{T}=\frac{-5800{,}2206}{308{,}15}\approx -18{,}8233,
C9=1{,}3914993,
C10\,T=-0{,}04864023\times 308{,}15\approx -14{,}9885,
C11\,T^{2}=4{,}176476\times 10^{-5}\times(308{,}15)^{2}\approx 3{,}9658,
C12\,T^{3}=-1{,}4452093\times 10^{-8}\times(308{,}15)^{3}\approx -0{,}4235,
C13\ln T=6{,}5459673\times\ln(308{,}15)\approx 37{,}512.
Somando os termos:
\text{expoente}\approx -18{,}8233+1{,}3914993-14{,}9885+3{,}9658-0{,}4235+37{,}512\approx 8{,}6340.
Portanto
P_{vs,T_{bs}}=\exp(8{,}6340)\approx 5628\\ \mathrm{Pa}.
(checa rápida: esse valor está coerente com tabelas: pressão de vapor saturado a 35^{\circ}\mathrm{C} é cerca de 5{,}63\\ \mathrm{kPa}.)
  • Cálculo de \mathrm{Pvs} em T_{bu,K}=297{,}15\\ \mathrm{K}.
    Termos: \frac{C8}{T}\approx \frac{-5800{,}2206}{297{,}15}\approx -19{,}520,
C9=1{,}3914993,
C10\,T\approx -0{,}04864023\times 297{,}15\approx -14{,}4535,
C11\,T^{2}\approx 4{,}176476\times 10^{-5}\times(297{,}15)^{2}\approx 3{,}6860,
C12\,T^{3}\approx -1{,}4452093\times 10^{-8}\times(297{,}15)^{3}\approx -0{,}3790,
C13\ln T\approx 6{,}5459673\times\ln(297{,}15)\approx 37{,}275.
Somando:
\text{expoente}\approx -19{,}520+1{,}3915-14{,}4535+3{,}6860-0{,}3790+37{,}275\approx 8{,}0001.
Logo
P_{vs,T_{bu}}=\exp(8{,}0001)\approx 2981\\ \mathrm{Pa}.
(coerente com tabelas: pressão de vapor saturado a 24^{\circ}\mathrm{C} é cerca de 2{,}98\\ \mathrm{kPa}.)

Passo 3

Calcular a umidade na saturação W_{s} (razão de mistura saturada) à temperatura de bulbo úmido T_{bu} — porque a fórmula de w pede W_{s,T_{bu}}.
  • Fórmula usada e justificativa rápida:
    W_s=\frac{0{,}622\;P_{vs}}{P-P_{vs}}.
    Essa fórmula vem da relação entre pressão parcial do vapor, razão de mistura W e constantes gasosas: W=0{,}622\,p_v/(P-p_v) (onde 0{,}622=R_{d}/R_{v}, razão das constantes dos gases do ar seco e do vapor).
  • Substituindo P_{vs,T_{bu}}=2981\\ \mathrm{Pa} e P=101325\\ \mathrm{Pa}:
    W_{s,T_{bu}}=\frac{0{,}622\times 2981}{101325-2981}=\frac{1854{,}18}{98344}\approx 0{,}01886\\ \text{(kg vapor/kg ar seco)}.
    Em unidades práticas: W_{s,T_{bu}}\approx 0{,}01886\\ \mathrm{kg/kg} (ou 18{,}86\\ \mathrm{g/kg}).

Passo 4

Calcular a razão de umidade w (conteúdo de umidade) com a fórmula fornecida e explicar cada termo.
  • Fórmula dada:
    w=\frac{(2501-2{,}381\,T_{bu})\,W_{s,T_{bu}}-(T_{bs}-T_{bu})}{2501+1{,}805\,T_{bs}-4{,}186\,T_{bu}}.
    Explicação didática: é uma forma prática de estimar o conteúdo de umidade a partir da diferença entre bulbo seco e úmido. Os coeficientes vêm de balanços de energia e capacidade térmica da água e do ar (2501 é calor latente aproximado em kJ/kg, etc.). As temperaturas entram em ^\circ\mathrm{C} na expressão como dada.
  • Substituindo números:
    2501-2{,}381\,T_{bu}=2501-2{,}381\times 24=2501-57{,}144=2443{,}856,
(2501-2{,}381\,T_{bu})\,W_{s,T_{bu}}=2443{,}856\times 0{,}01886\approx 46{,}091.
T_{bs}-T_{bu}=35-24=11.
Numerador:
46{,}091-11=35{,}091.
Denominador:
2501+1{,}805\,T_{bs}-4{,}186\,T_{bu}=2501+1{,}805\times 35-4{,}186\times 24
=2501+63{,}175-100{,}464=2463{,}711.
Portanto:
w=\frac{35{,}091}{2463{,}711}\approx 0{,}01424\\ \mathrm{kg/kg}.
Em unidades mais usuais: w\approx 0{,}01424\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco} (ou 14{,}24\\ \mathrm{g/kg}).

Passo 5

Calcular o grau de umidade \mu (grau de saturação em termos de razão de mistura), isto é \mu=W/W_s. Aqui vou usar W_s à temperatura de bulbo seco T_{bs} para comparar com o conteúdo real w.
  • Primeiro calcular W_{s,T_{bs}} com a mesma fórmula do Passo 3, usando P_{vs,T_{bs}}=5628\\ \mathrm{Pa}: W_{s,T_{bs}}=\frac{0{,}622\times 5628}{101325-5628}=\frac{3500{,}616}{95697}\approx 0{,}03658\\ \mathrm{kg/kg}.
  • Agora o grau de saturação: \mu=\frac{w}{W_{s,T_{bs}}}=\frac{0{,}01424}{0{,}03658}\approx 0{,}3896.Em porcentagem: \mu\approx 38{,}96\%. Interpretação: o ar contém cerca de 39\% da umidade máxima possível à temperatura de 35^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular a umidade relativa UR' a partir de w. Procedimento e explicação:
  • Primeiro obter a pressão parcial do vapor p_v a partir de w e P:
    p_v=\frac{w\,P}{0{,}622 + w}.
    Substituindo w=0{,}01424 e P=101325\\ \mathrm{Pa}:
    p_v=\frac{0{,}01424\times 101325}{0{,}622+0{,}01424}=\frac{1442{,}868}{0{,}63624}\approx 2267\\ \mathrm{Pa}.
    (Interpretação: essa é a pressão parcial atual do vapor na mistura.)
  • Agora a umidade relativa em relação à saturação à temperatura de bulbo seco T_{bs}:
    UR'=\frac{p_v}{P_{vs,T_{bs}}}=\frac{2267}{5628}\approx 0{,}403.
    Em porcentagem: UR'\approx 40{,}3\%.

Resposta

a) P_{vs,T_{bs}=35^\circ\mathrm{C}} \approx 5628\\ \mathrm{Pa} \quad P_{vs,T_{bu}=24^\circ\mathrm{C}} \approx 2981\\ \mathrm{Pa}
b) W_{s,T_{bu}=24^\circ\mathrm{C}} \approx 0{,}01886\\ \mathrm{kg/kg}
c) w \approx 0{,}01424\\ \mathrm{kg/kg}
d) \mu=\dfrac{W}{W_{s,T_{bs}}}\approx 0{,}3896 (ou 38{,}96\%)
e) UR' \approx 0{,}403 (ou 40{,}3\%)

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