Realize a convolução entre os sinais:
e^a t u(t) e sin (t) u(t).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente fazer a convolução entre os sinais
x(t)=e^a t,u(t)e y(t)=sin(t),u(t),
Isso é parte do conteúdo de sistemas lineares e sinais: pra resolver a gente vai usar a definição de convolução contínua, a propriedade da função degrau u(t) (que zera tudo antes de t=0) e um integral que mistura exponencial com seno.

Passo 2

Pelo conceito, a convolução é
(x*y)(t)=integral-infty^inftyx(tau),y(t-tau),dtau
Como x(tau)=0 pra tau<0 e y(t-tau)=0 se t-tau<0ifftau>t, o integral vira
(x*y)(t)=integral0^te^atau,sinl(t-taur),dtau

Passo 3

Para facilitar, a gente faz a mudança de variável x = t-tau. Então quando tau=0, x=t, e quando tau=t, x=0. Além disso dtau = -dx. O integral fica:
integral0^te^atau,sin(t-tau),dtau =integralx=t^0e^a,(t-x),sin x,(-dx) =;e^a tintegral0^te^-a x,sin x,dx
Ou seja, agora precisamos calcular
J(t)=integral0^te^-a x,sin x,dx

Passo 4

Usamos a fórmula geral
integral e^m x,sin(nx),dx =e^m xm^2+n^2l(msin(nx)-ncos(nx)r)+C
Aqui m=-a e n=1. Então
J(t) =e^-a xa^2+1l(-asin x-cos xr)|0^t =1a^2+1l[e^-a t(-asin t-cos t);-;(-1)r]
Repare que em x=0 a expressão dá e^0(-acdot0-!1)= -1.

Passo 5

Agora voltamos ao nosso convolution:
(x*y)(t)=e^a t,J(t) =e^a ta^2+1l[e^-a t(-asin t-cos t)+1r] =-asin t-cos t+e^a ta^2+1
E não esquece que vale só pra t>=0, já que era convolução com u(t).

Resposta

(e^a tu(t)*sin t,u(t))(t) =e^a t-l(cos t + asin tr)a^2+1;u(t)

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