Realize a convolução entre os sinais:
t u(t) e e^a t u(t).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular a convolução entre dois sinais causais:
Isso é parte de Sinais e Sistemas (ou Transformadas de Laplace, se preferir). Para resolver, a gente vai usar a definição de convolução de sinais contínuos e integrar passo a passo aplicando integração por partes.

Passo 2

Lembra que a convolução de dois sinais y(t) = (x*h)(t) ;=;integral-infty^+infty x(tau),h(t-tau),dtau e é
Como ambos têm , eles valem zero pra argumento negativo. Então a gente só integra de até .

Passo 3

Substituindo y(t) ;=;integral0^t tau;e^,a,(t-tau),dtau e y(t)=e^a t,integral0^ttau,e^-atau,dtau , fica
Tira que não depende de :

Passo 4

Agora o integral I = l[-tfractaua,e^-ataur]0^t - integral0^tl(-tfrac1ae^-ataur),dtau . A gente resolve isso por partes:
  • seja I = -tae^-a t + 0 + 1aintegral0^te^-atau,dtau e ,
  • então e .
A fórmula de partes diz . Logo
Isso dá
E

Passo 5

Substituindo esse resultado em I = -tae^-a t + 1acdot1 - e^-a ta = -tae^-a t + 1 - e^-a ta^2 :
y(t) = e^a t,I = e^a tl(-tfractae^-a t + tfrac1 - e^-a ta^2r)
Então
y(t) = -ta + e^a t(1 - e^-a t)a^2 = -ta + e^a t - 1a^2
Distribuindo :

Resposta

y(t) = boxedy(t)=e^a t-1 - a,ta^2;u(t) , ou de forma condensada

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