Realize a convolução entre os sinais:
e^a t u(t) e e^a t u(t).

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente faça a convolução dos sinais
x(t)=e^a t,u(t) e h(t)=e^a t,u(t)
Isso cai na matéria de Sinais e Sistemas, usando a definição de convolução em tempo contínuo. Para resolver, vamos usar a fórmula
(f*g)(t)=integral-infty^inftyf(tau),g(t-tau),dtau
e a propriedade do degrau unitário , que define onde cada sinal é zero ou não.

Passo 2

Primeiro, montamos a expressão da convolução:
y(t) ;=;(e^a tu(t)) * (e^a tu(t)) ;=;integral-infty^infty e^atauu(tau);l[e^a(t-tau)u(t-tau)r];dtau
É só trocar por e por .

Passo 3

Agora, a gente vê onde esses degraus são não nulos:
  • exige .
  • exige , ou seja .
    Juntando, o integrando só vale para . Para não há que satisfaça ambas, então nesse caso.

Passo 4

Dentro da integral, note que
e^atau;e^a(t-tau) = e^a t
Isso é constante em relação a y(t) =integral0^te^a t,dtau =e^a tintegral0^tdtau =e^a t,(t-0) =t,e^a t , então sai da integral:

Passo 5

Lembra que isso vale só quando y(t)=t,e^a t,u(t) . Para , . Se a gente quiser escrever tudo de uma vez, introduz o degrau de novo:

Resposta

boxed(e^a tu(t))*(e^a tu(t)) ;=;t,e^a t,u(t),

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