4.5 Realize a medição de temperatura da água e acione o cronômetro: deixe a água esfriar e realize a medição do instante de tempo e da temperatura a cada 1^{\circ} \mathrm{C} (ou 2^{\circ} \mathrm{C} ) de redução de temperatura: coletar o máximo de pontos de temperatura (e instantes de tempo) possível.

Passo 1

O enunciado pede que se realize uma medição experimental: aquecer água, deixar esfriar e registrar o instante de tempo associado a cada redução de temperatura de 1^\circ\mathrm{C} (ou 2^\circ\mathrm{C}), coletando o máximo de pontos possível.
Informações/requisitos explícitos do enunciado:
  • Medir temperatura da água enquanto ela esfria.
  • Acionar cronômetro no início do resfriamento.
  • Anotar o instante de tempo correspondente a cada queda de 1^\circ\mathrm{C} (ou 2^\circ\mathrm{C}).
  • Coletar muitos pontos (quanto mais, melhor).

Passo 2

Escolha do que fazer com os dados (sem ainda resolver nada): após coletar os pares (t_i,T_i) a cada \Delta T=1^\circ\mathrm{C} (ou 2^\circ\mathrm{C}), o objetivo usual é ajustar esses dados a um modelo físico de resfriamento para extrair a constante de resfriamento e avaliar se o modelo é válido. O procedimento que vou ensinar abrange:
  • como montar o experimento para obter dados bons;
  • como transformar os dados para linearizar a lei de resfriamento;
  • como estimar a constante de resfriamento e sua incerteza;
  • como interpretar o resultado.

Passo 3

Breve explicação física que justifica o método que vamos aplicar (aula curta e intuitiva). A hipótese comum para água num copo que troca calor com o ambiente é a chamada Lei do Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação da temperatura é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente. Em forma diferencial:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_{\text{amb}}\bigr),
onde:
  • T(t) é a temperatura da água no instante t;
  • T_{\text{amb}} é a temperatura ambiente (constante);
  • k>0 é a constante de resfriamento (unidade: 1/tempo).
Resolver essa equação nos dá a solução conhecida (vou mostrar como chegar nela passo a passo):
T(t)=T_{\text{amb}}+\bigl(T_0-T_{\text{amb}}\bigr)e^{-k t},
onde T_0 é a temperatura inicial da água ( t=0). Isso significa que a diferença \Delta T(t)=T(t)-T_{\text{amb}} decai exponencialmente:
\Delta T(t)=\Delta T_0\,e^{-k t}.
Para estimar k a partir de dados experimentais, fazemos a transformação logarítmica:
\ln\bigl(\Delta T(t)\bigr)=\ln(\Delta T_0)-k t.
Dessa forma, ao plotar \ln(\Delta T) versus t espera-se uma reta de inclinação -k. Isso é útil porque transforma o ajuste exponencial num ajuste linear simples.

Passo 4

Equipamento e preparação experimental (passo a passo prático e dicas para obter bons dados):
  1. Materiais sugeridos: termômetro digital ou termopar com resposta rápida, cronômetro (ou registrador automático), recipiente (copo/enxágue) com isolamento mínimo, suporte para termômetro, tampa opcional, e ficha para anotações.
  2. Calibre e verifique o termômetro antes: meça a temperatura ambiente e a de água em ponto de ebulição (se possível) para checar se há erro sistemático. Anote a resolução e incerteza do termômetro (por exemplo, \pm0,1^\circ\mathrm{C} ou \pm0,5^\circ\mathrm{C}).
  3. Meça a temperatura ambiente e registre T_{\text{amb}} com cuidado — este valor entra na transformação e erros aqui afetam fortemente o ajuste. Recomenda-se medir T_{\text{amb}} em vários pontos do ar do laboratório e tirar a média.
  4. Aqueça a água até a temperatura inicial desejada T_0 (por exemplo \approx90^\circ\mathrm{C} se seguro). Coloque o termômetro de modo que a ponta fique imersa no líquido e longe das paredes (assim mede a temperatura média).
  5. Opcional: mexer suavemente a água (estiramento) mantém a temperatura mais uniforme no volume, mas altera a troca convectiva; se mexer, faça sempre da mesma maneira em todas as repetições. Recomendo NÃO mexer durante um experimento se quer comparar com teoria de resfriamento natural (mas mexer pode ser necessário para evitar gradientes locais se o termômetro for lento). Seja consistente.
  6. Isole o recipiente lateralmente (um pano ou isopor) para reduzir perda por radiação/condutividade que não seja convectiva, a não ser que o objetivo seja medir a taxa total de perda real. Use tampa anti-evaporação se puder (evaporação altera energia e temperatura).
  7. Acione o cronômetro no instante t=0 quando a temperatura for T_0. A cada redução de 1^\circ\mathrm{C} (ou 2^\circ\mathrm{C}) anote o tempo correspondente t_i e a temperatura T_i. Se o termômetro for digital com saída, registre automaticamente os pontos; caso contrário anote manualmente.
  8. Continue até perto de T_{\text{amb}} (por exemplo até T-T_{\text{amb}} ser pequeno comparado à resolução do termômetro). Quanto mais pontos (especialmente nos estágios iniciais e médios), melhor para o ajuste.

Passo 5

Organização dos dados: como anotar e preparar para o ajuste.
  • Faça uma tabela com colunas: i,\\ t_i,\\ T_i,\\ \Delta T_i = T_i-T_{\text{amb}},\\ \ln(\Delta T_i).
  • Atenção: sempre que usar \ln(\Delta T_i) certifique-se que \Delta T_i>0. Pontos muito perto do T_{\text{amb}} podem dar ruído grande por terem \Delta T pequeno.
  • Use a mesma unidade de tempo (segundos ou minutos). A constante k terá unidade 1/unidade de tempo escolhida.

Passo 6

Ajuste linear (método prático para extrair k):
  • No eixo y coloque \ln(\Delta T_i) e no eixo x o tempo t_i. O modelo linear é
y_i = a + b\,t_i,
onde y_i=\ln(\Delta T_i), a=\ln(\Delta T_0) e b=-k.
  • Ajuste por mínimos quadrados: a estimativa da inclinação (que chamarei de \hat b) é
\hat b = \frac{\sum_{i=1}^n (t_i-\bar t)(y_i-\bar y)}{\sum_{i=1}^n (t_i-\bar t)^2},
com \bar t=\dfrac{1}{n}\sum t_i e \bar y=\dfrac{1}{n}\sum y_i. Então a estimativa da constante é
\hat k = -\hat b.
  • O intercepto estimado é
\hat a = \bar y - \hat b\,\bar t,
e isso dá \widehat{\Delta T_0}=e^{\hat a}.

Passo 7

Estimativa de incertezas (como obter erro em \hat k):
  • Primeiro calcule os resíduos
r_i = y_i - (\hat a + \hat b t_i).
  • A variância dos resíduos estimada é
s^2 = \frac{1}{n-2}\sum_{i=1}^n r_i^2.
  • O erro padrão da inclinação \hat b é
\sigma_{\hat b} = \sqrt{\frac{s^2}{\sum_{i=1}^n (t_i-\bar t)^2}}.
  • Portanto o erro padrão em \hat k é \sigma_{\hat k}=\sigma_{\hat b} (porque \hat k=-\hat b). Use isso para construir intervalo de confiança, por exemplo \hat k \pm t_{n-2,\,0{,}975}\,\sigma_{\hat k}.
  • Observação prática: se os erros dominantes vêm da resolução do termômetro, uma aproximação útil para o erro em y_i=\ln(\Delta T_i) é
\sigma_{y_i}\approx\frac{\sigma_{T}}{\Delta T_i},
onde \sigma_T é a incerteza absoluta da leitura de T. Pontos com \Delta T_i pequenos terão \sigma_{y_i} grande e podem distorcer o ajuste; é comum excluir pontos muito próximos de T_{\text{amb}}.

Passo 8

Interpretação dos resultados e checagens de validade:
  • Se o gráfico \ln(\Delta T) vs t parece bem alinhado (poucos desvios sistemáticos), a Lei de Newton é aceitável no regime medido.
  • Se houver curvatura sistemática, pode significar que T_{\text{amb}} foi mal medido, que o coeficiente de transferência de calor mudou durante o experimento (por exemplo: mudança de convecção natural para forçada), ou que há perda por evaporação/radiação não considerada.
  • Compare \widehat{\Delta T_0}=e^{\hat a} com \Delta T_0 medido no t=0 como checagem. Desvios grandes indicam problema experimental.
  • A constante \hat k pode ser convertida para tempo característico \tau e meia-vida térmica:
\tau=\frac{1}{\hat k},\qquad t_{1/2}=\frac{\ln 2}{\hat k}.

Passo 9

Exemplo numérico ilustrativo (pequeno, para ver como proceder passo a passo). Suponha experimento com T_{\text{amb}}=20^\circ\mathrm{C}, T_0=90^\circ\mathrm{C}. Considere que os tempos teóricos para um k=0{,}02\\ \mathrm{s}^{-1} seriam (usei a fórmula direta para mostrar consistência):
t = -\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{T-T_{\text{amb}}}{T_0-T_{\text{amb}}}\right).
Cálculo rápido para alguns pontos:
  • Para T=85^\circ\mathrm{C}: \Delta T=65, \ln(\Delta T)=\ln(65)\approx4{,}174387. Tempo teórico t\approx3{,}68\\ \mathrm{s}.
  • Para T=80^\circ\mathrm{C}: \Delta T=60, \ln(\Delta T)\approx4{,}094345. Tempo teórico t\approx7{,}71\\ \mathrm{s}.
  • Para T=75^\circ\mathrm{C}: \Delta T=55, \ln(\Delta T)\approx4{,}007333. Tempo teórico t\approx12{,}04\\ \mathrm{s}.
  • Para T=70^\circ\mathrm{C}: \Delta T=50, \ln(\Delta T)\approx3{,}912023. Tempo teórico t\approx16{,}82\\ \mathrm{s}.
  • Para T=65^\circ\mathrm{C}: \Delta T=45, \ln(\Delta T)\approx3{,}806452. Tempo teórico t\approx22{,}09\\ \mathrm{s}.
    Se fizer a regressão linear em \bigl(t_i,\ln(\Delta T_i)\bigr) com esses pontos, a inclinação estimada dará \hat b\approx-0{,}02 e \hat k\approx0{,}02\\ \mathrm{s}^{-1}. A verificação manual rápida usando primeiro e último ponto:
\hat b \approx \frac{3{,}806452-4{,}174387}{22{,}0915-3{,}6785}\approx -0{,}01998,
logo \hat k\approx0{,}01998\\ \mathrm{s}^{-1}. Isso mostra o procedimento prático e que os cálculos são feitos sem necessidade de máquina, embora numa prova real seja aceitável usar calculadora para somas e logs.

Passo 10

Erros e problemas experimentais comuns e como mitigá-los (dicas para prova/experimento):
  • Medir mal T_{\text{amb}} desloca toda a transformação e distorce o ajuste: meça com cuidado e registre sua incerteza.
  • Evaporação (especialmente em altas temperaturas) remove energia e pode fazer o resfriamento não-exponencial; use tampa e evite temperaturas muito altas por muito tempo.
  • Termômetro lento ou mal posicionado dá leituras atrasadas; use termopar ou sonde com resposta rápida e posicione a ponta no centro do volume.
  • Convecção variável (corrente de ar no laboratório) altera k; faça repetições e anote condições ambientais.
  • Pontos muito próximos de T_{\text{amb}} têm ruído relativo grande; considere excluir os últimos poucos pontos do ajuste linear.

Passo 11

Resumo prático para executar tudo em prova ou laboratório (passo-a-passo curto, prático e executável):
  1. Meça T_{\text{amb}}. Calibre termômetro.
  2. Aqueça água e anote T_0. Coloque termômetro corretamente.
  3. Acione cronômetro no t=0. A cada queda de 1^\circ\mathrm{C} (ou 2^\circ\mathrm{C}) anote t_i e T_i. Continue até próximo de T_{\text{amb}}.
  4. Monte tabela com \Delta T_i=T_i-T_{\text{amb}} e y_i=\ln(\Delta T_i).
  5. Faça regressão linear y_i=a+b t_i por mínimos quadrados (calcule \hat b pela fórmula de soma de produtos).
  6. Obtenha \hat k=-\hat b. Calcule \tau=1/\hat k e t_{1/2}=\ln 2/\hat k.
  7. Calcule erro padrão de \hat k a partir dos resíduos para avaliar incerteza.
  8. Verifique se o gráfico é aproximadamente linear; caso contrário, investigue erros experimentais.

Resposta

Procedimento resumido: medir T_{\text{amb}}, registrar (t_i,T_i) a cada 1^\circ\mathrm{C} de queda; calcular \Delta T_i=T_i-T_{\text{amb}}; montar y_i=\ln(\Delta T_i); ajustar y_i=a+b t_i por mínimos quadrados; obter \hat k=-\hat b; calcular \tau=1/\hat k e t_{1/2}=\ln2/\hat k.

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