Ex3) Calcule o produto escalar entre os vetores
a) \vec{A}=3 m \hat{\imath}+4 m \hat{\jmath} e \vec{B}=5 m \hat{\imath}+8 m \hat{\jmath}.
b) \vec{A}=2 \frac{m}{s} \hat{\imath}+6 \frac{m}{s} \hat{\jmath} e \vec{B}=5 \frac{m}{s} \hat{\imath}-3 \frac{m}{s} \hat{\jmath}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do produto escalar (dot product) entre dois pares de vetores. Os dados são:
  • Caso (a): \vec{A}=3\\ \mathrm{m}\,\hat{\imath}+4\\ \mathrm{m}\,\hat{\jmath} e \vec{B}=5\\ \mathrm{m}\,\hat{\imath}+8\\ \mathrm{m}\,\hat{\jmath}.
  • Caso (b): \vec{A}=2\\ \mathrm{\frac{m}{s}}\,\hat{\imath}+6\\ \mathrm{\frac{m}{s}}\,\hat{\jmath} e \vec{B}=5\\ \mathrm{\frac{m}{s}}\,\hat{\imath}-3\\ \mathrm{\frac{m}{s}}\,\hat{\jmath}.
O que se pede em cada caso é um único número (o produto escalar) — isso envolve multiplicar componentes correspondentes e somar.

Passo 2

Fórmula do produto escalar em componentes (fórmula que deve ser usada na prova):
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_x B_x + A_y B_y
Explicação das notações:
  • A_x e A_y são as componentes do vetor \vec{A} nas direções \hat{\imath} e \hat{\jmath}, respectivamente.
  • B_x e B_y são as componentes do vetor \vec{B} nas mesmas direções.
  • O resultado tem unidades que são o produto das unidades das componentes (por exemplo, \mathrm{m}\times\mathrm{m}=\mathrm{m}^2; (\mathrm{m/s})\times(\mathrm{m/s})=\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2).
Dica prática para a prova: alinhe as componentes em coluna e multiplique elemento a elemento, depois some. Isso evita confusão.

Passo 3

Aplicando ao item (a). Identificando componentes:
A_x=3\\ \mathrm{m},\quad A_y=4\\ \mathrm{m},\quad B_x=5\\ \mathrm{m},\quad B_y=8\\ \mathrm{m}.
Calcule cada produto:
A_x B_x = 3\cdot 5 = 15, \qquad A_y B_y = 4\cdot 8 = 32.
Some os resultados:
\vec{A}\cdot\vec{B}=15+32=47.
Incluindo unidades (produto de metros por metros):
\vec{A}\cdot\vec{B}=47\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Aplicando ao item (b). Identificando componentes:
A_x=2\\ \mathrm{\frac{m}{s}},\quad A_y=6\\ \mathrm{\frac{m}{s}},\quad B_x=5\\ \mathrm{\frac{m}{s}},\quad B_y=-3\\ \mathrm{\frac{m}{s}}.
Calcule cada produto:
A_x B_x = 2\cdot 5 = 10, \qquad A_y B_y = 6\cdot(-3) = -18.
Some os resultados:
\vec{A}\cdot\vec{B}=10+(-18)=-8.
Incluindo unidades (produto de \mathrm{m/s} por \mathrm{m/s}):
\vec{A}\cdot\vec{B}=-8\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2.

Passo 5

Interpretação rápida (útil para prova): sinal positivo do produto escalar indica ângulo entre vetores agudo ( <90^\circ); sinal negativo indica ângulo obtuso ( >90^\circ); e produto escalar zero indica vetores perpendiculares. Não esqueça de checar unidades no final — é sinal de que os cálculos foram consistentes. Vai dar tudo certo, respira e segue esses passos na prova!

Resposta

(a) 47\\ \mathrm{m}^2
(b) -8\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2

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