Ache o Ângulo entre os vetores \vec{A}=3 m \hat{\imath}+2 m \hat{\jmath} e \vec{B}=4 m \hat{\imath}-2 m \hat{\jmath}.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os vetores dados. Informações fornecidas:
  • \vec{A}=3\,m\,\hat{\imath}+2\,m\,\hat{\jmath}.
  • \vec{B}=4\,m\,\hat{\imath}-2\,m\,\hat{\jmath}.
    Pergunta: determinar o ângulo \theta entre \vec{A} e \vec{B}.

Passo 2

Conceito que vamos usar: o produto escalar (dot product) entre dois vetores relaciona-se com o ângulo entre eles pela fórmula
\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}|\,|\vec{B}|\,\cos\theta.
Aqui:
  • \vec{A}\cdot\vec{B} é o produto escalar (um número),
  • |\vec{A}| e |\vec{B}| são os módulos (normas) dos vetores,
  • \theta é o ângulo entre eles.
    Para encontrar \theta isolamos \cos\theta:
\cos\theta=\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}|\,|\vec{B}|},
e então \theta=\operatorname{arccos}\!\big(\cos\theta\big).

Passo 3

Cálculo do produto escalar usando as componentes x e y:
\vec{A}\cdot\vec{B}=(3)(4)+(2)(-2)=12-4=8.
Observação: unidades de metros multiplicadas cancelam quando dividimos por módulos, então podemos trabalhar só com os números das componentes.

Passo 4

Cálculo dos módulos dos vetores:
|\vec{A}|=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.
|\vec{B}|=\sqrt{4^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula para \cos\theta:
\cos\theta=\frac{8}{\sqrt{13}\,\sqrt{20}}=\frac{8}{\sqrt{260}}=\frac{8}{2\sqrt{65}}=\frac{4}{\sqrt{65}}.
Portanto o ângulo é
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{4}{\sqrt{65}}\right).
Para usar na prova sem calculadora, é útil ter a forma exata \operatorname{arccos}\!\big(4/\sqrt{65}\big). Se precisar do valor numérico, aproximamos.

Passo 6

Aproximação numérica: \sqrt{65}\approx 8,062257, então
\cos\theta\approx\frac{4}{8,062257}\approx0,4961389.
Logo
\theta\approx\operatorname{arccos}(0,4961389)\approx60,26^\circ\approx1,052\\ \text{rad}.
Comentário final: como \cos\theta>0, o ângulo é agudo (menor que 90^\circ), o que faz sentido olhando para as componentes (ambos têm componente x positiva).

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{4}{\sqrt{65}}\right)\approx60,26^\circ

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