Realize o que se pede abaixo:
Mostre que T: \mathbb{R}^{3} \mapsto \mathbb{R}^{2}, definida por T(x, y, z)=(x+y+z, x+2 y+3 z) é uma Transformação Linear;

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}, definida por
T(x,y,z)=(x+y+z,\;x+2y+3z),
é uma transformação linear.
Informações dadas: o domínio é \mathbb{R}^{3}, o contradomínio é \mathbb{R}^{2} e a regra que envia cada vetor (x,y,z) em \mathbb{R}^{3} para o vetor (x+y+z,\;x+2y+3z) em \mathbb{R}^{2}.
Pergunta clara: provar que T satisfaz as propriedades que definem uma transformação linear.

Passo 2

Definição útil (explicada devagar): uma aplicação T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^{3} e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem simultaneamente
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(c\,u)=c\,T(u).
Essas duas propriedades recebem nomes: aditividade (ou preserva soma) e homogeneidade (ou preserva multiplicação por escalar). Se você mostrar as duas, já provou que T é linear. Outra consequência imediata (útil para checar) é que T(0)=0.

Passo 3

Verificação da aditividade passo a passo: escolha vetores genéricos
u=(x_1,y_1,z_1),\qquad v=(x_2,y_2,z_2).
Então a soma é
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Aplicando T à soma, usando a definição de T,
T(u+v)=\big((x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2),\;(x_1+x_2)+2(y_1+y_2)+3(z_1+z_2)\big).
Agora vamos reorganizar essas somas, somando termo a termo:
T(u+v)=\big((x_1+y_1+z_1)+(x_2+y_2+z_2),\;(x_1+2y_1+3z_1)+(x_2+2y_2+3z_2)\big).
Mas as parcelas acima são exatamente T(u) e T(v). Ou seja,
T(u+v)=T(u)+T(v).
Portanto a aditividade está comprovada.

Passo 4

Verificação da homogeneidade passo a passo: escolha um escalar genérico c\in\mathbb{R} e um vetor genérico u=(x,y,z). Primeiro calcule c\,u:
c\,u=(c x,\;c y,\;c z).
Aplicando T ao vetor escalado:
T(c\,u)=\big(c x + c y + c z,\; c x + 2(c y) + 3(c z)\big).
Fatorando c em cada componente (isso é básico: somas fatoram),
T(c\,u)=\big(c(x+y+z),\;c(x+2y+3z)\big).
Que é exatamente
T(c\,u)=c\,(x+y+z,\;x+2y+3z)=c\,T(u).
Logo a homogeneidade também vale.

Passo 5

Conclusão da prova de linearidade: mostramos as duas propriedades necessárias:
T(u+v)=T(u)+T(v)\quad\text{e}\quad T(c\,u)=c\,T(u)
para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^{3} e qualquer c\in\mathbb{R}. Portanto T é uma transformação linear. Como checagem rápida, aplicando T ao vetor nulo 0=(0,0,0) obtemos T(0)=(0,0), que é coerente com linearidade.

Passo 6

Interpretação prática (útil na prova): toda transformação linear de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^2 pode ser escrita como multiplicação por uma matriz 2\times3. Para ver a matriz associada a T, calcule T nas bases canônicas
e_1=(1,0,0),\; e_2=(0,1,0),\; e_3=(0,0,1).
Temos
T(e_1)=(1,1),\quad T(e_2)=(1,2),\quad T(e_3)=(1,3).
Colocando esses vetores como colunas, obtemos a matriz A tal que T(v)=A v:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 2 & 3\end{pmatrix}.
Isso é útil para cálculos rápidos na prova: basta multiplicar essa matriz pelo vetor coluna (x,y,z)^{T} e recuperar T(x,y,z).]

Resposta

T é linear; matriz associada \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 2 & 3\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados