Realize o que se pede abaixo:
Mostre que
, definida por
é uma Transformação Linear;
Mostre que
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que
, definida por
é uma transformação linear.
Informações dadas: o domínio é , o contradomínio é
e a regra que envia cada vetor
em
para o vetor
em
.
Pergunta clara: provar que satisfaz as propriedades que definem uma transformação linear.
Informações dadas: o domínio é
Pergunta clara: provar que
Passo 2
Definição útil (explicada devagar): uma aplicação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem simultaneamente
e
Essas duas propriedades recebem nomes: aditividade (ou preserva soma) e homogeneidade (ou preserva multiplicação por escalar). Se você mostrar as duas, já provou que
é linear. Outra consequência imediata (útil para checar) é que
.
Passo 3
Verificação da aditividade passo a passo: escolha vetores genéricos
Então a soma é
Aplicando
à soma, usando a definição de
,
Agora vamos reorganizar essas somas, somando termo a termo:
Mas as parcelas acima são exatamente
e
. Ou seja,
Portanto a aditividade está comprovada.
Passo 4
Verificação da homogeneidade passo a passo: escolha um escalar genérico
e um vetor genérico
. Primeiro calcule
:
Aplicando
ao vetor escalado:
Fatorando
em cada componente (isso é básico: somas fatoram),
Que é exatamente
Logo a homogeneidade também vale.
Passo 5
Conclusão da prova de linearidade: mostramos as duas propriedades necessárias:
para quaisquer
e qualquer
. Portanto
é uma transformação linear. Como checagem rápida, aplicando
ao vetor nulo
obtemos
, que é coerente com linearidade.
Passo 6
Interpretação prática (útil na prova): toda transformação linear de
em
pode ser escrita como multiplicação por uma matriz
. Para ver a matriz associada a
, calcule
nas bases canônicas
Temos
Colocando esses vetores como colunas, obtemos a matriz
tal que
:
Isso é útil para cálculos rápidos na prova: basta multiplicar essa matriz pelo vetor coluna
e recuperar
.]