Seja S: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma reflexão através da reta r: y=2 x.
a) Encontre S(x, y);
b) Determine S(1,0) e S(0,1).
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que é a reflexão através da reta r:\;y=2x. Perguntas pedidas:
a) Encontrar a fórmula geral S(x,y) (ou seja, a imagem de um vetor arbitrário (x,y) pela reflexão).
b) Calcular explicitamente S(1,0) e S(0,1).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que usaremos:
r:\;y=2x
é uma reta que passa pela origem e tem direção dada pelo vetor (1,2). Portanto podemos trabalhar com projeções nessa direção e usar propriedades da reflexão em relação a uma reta que passa pela origem.
Passo 2
Ideia geométrica (explicação didática, sem pular etapas): para refletir um vetor v em relação a uma reta que passa pela origem, é útil decompor v em duas partes: a componente paralela à reta (projeção) e a componente perpendicular. Se P(v) é a projeção ortogonal de v sobre a reta, então escrevemos
v = P(v) + \big(v-P(v)\big).
A reflexão troca o sinal da parte perpendicular e mantém a paralela. Logo a imagem refletida é
S(v) = P(v) - \big(v-P(v)\big) = 2P(v) - v.
Portanto, em forma matricial,
S = 2P - I,
onde P é a matriz da projeção ortogonal sobre a reta e I é a matriz identidade 2\times2. Vou agora construir P passo a passo.
Passo 3
Construindo a projeção: seja d=(1,2) um vetor diretor da reta r. Primeiro normalizamos d para obter um vetor unitário \,u, pois a fórmula da projeção usa o vetor unitário na direção da reta. O comprimento de d é
(Pequena verificação — serve para ganhar confiança) Verifico que vetores sobre a reta r são fixos pela reflexão. Tomemos (1,2) que está na reta y=2x. Aplicando S: