Seja S: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma reflexão através da reta r: y=2 x.
a) Encontre S(x, y);
b) Determine S(1,0) e S(0,1).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que é a reflexão através da reta r:\;y=2x. Perguntas pedidas:
a) Encontrar a fórmula geral S(x,y) (ou seja, a imagem de um vetor arbitrário (x,y) pela reflexão).
b) Calcular explicitamente S(1,0) e S(0,1).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que usaremos:
r:\;y=2x
é uma reta que passa pela origem e tem direção dada pelo vetor (1,2). Portanto podemos trabalhar com projeções nessa direção e usar propriedades da reflexão em relação a uma reta que passa pela origem.

Passo 2

Ideia geométrica (explicação didática, sem pular etapas): para refletir um vetor v em relação a uma reta que passa pela origem, é útil decompor v em duas partes: a componente paralela à reta (projeção) e a componente perpendicular. Se P(v) é a projeção ortogonal de v sobre a reta, então escrevemos
v = P(v) + \big(v-P(v)\big).
A reflexão troca o sinal da parte perpendicular e mantém a paralela. Logo a imagem refletida é
S(v) = P(v) - \big(v-P(v)\big) = 2P(v) - v.
Portanto, em forma matricial,
S = 2P - I,
onde P é a matriz da projeção ortogonal sobre a reta e I é a matriz identidade 2\times2. Vou agora construir P passo a passo.

Passo 3

Construindo a projeção: seja d=(1,2) um vetor diretor da reta r. Primeiro normalizamos d para obter um vetor unitário \,u, pois a fórmula da projeção usa o vetor unitário na direção da reta. O comprimento de d é
\|d\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.
Logo o vetor unitário é
u=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2)=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
A projeção ortogonal de um vetor v sobre a direção u é dada por
P(v)=(u\cdot v)\,u.
Em termos de matrizes, a matriz de projeção P é
P = u\,u^{T},
isto é, o produto externo do vetor unitário por si mesmo (uma matriz 2\times2).

Passo 4

Calcular explicitamente a matriz P. Como u=\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}},\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right),
P = u u^{T} = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{5}}\\[4pt]\dfrac{2}{\sqrt{5}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{5}} & \dfrac{2}{\sqrt{5}}\end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix}.
Mostrando a multiplicação elemento a elemento:
P_{11}=\frac{1\cdot1}{5}=\frac{1}{5},\quad P_{12}=\frac{1\cdot2}{5}=\frac{2}{5},
P_{21}=\frac{2\cdot1}{5}=\frac{2}{5},\quad P_{22}=\frac{2\cdot2}{5}=\frac{4}{5}.]

Passo 5

Usar a fórmula da reflexão S = 2P - I. Agora calculamos a matriz S:
2P = \frac{2}{5}\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{2}{5} & \dfrac{4}{5}\\[6pt]\dfrac{4}{5} & \dfrac{8}{5}\end{pmatrix}.
Subtraindo a identidade I=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},
S = 2P - I = \begin{pmatrix}\dfrac{2}{5}-1 & \dfrac{4}{5}\\[6pt]\dfrac{4}{5} & \dfrac{8}{5}-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\dfrac{3}{5} & \dfrac{4}{5}\\[6pt]\dfrac{4}{5} & \dfrac{3}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Escrever S atuando sobre um vetor genérico (x,y). Se aplicarmos a matriz S ao vetor coluna \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}, obtemos
S\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\dfrac{3}{5} & \dfrac{4}{5}\\[6pt]\dfrac{4}{5} & \dfrac{3}{5}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5}y\\[6pt]\dfrac{4}{5}x+\dfrac{3}{5}y\end{pmatrix}.
Portanto a fórmula procurada é
S(x,y)=\left(-\dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5}y,\;\dfrac{4}{5}x+\dfrac{3}{5}y\right).]

Passo 7

Calcular S(1,0) e S(0,1) aplicando a fórmula do passo anterior:
Para (1,0):
S(1,0)=\left(-\dfrac{3}{5}\cdot 1+\dfrac{4}{5}\cdot 0,\;\dfrac{4}{5}\cdot 1+\dfrac{3}{5}\cdot 0\right) =\left(-\dfrac{3}{5},\;\dfrac{4}{5}\right).
Para (0,1):
S(0,1)=\left(-\dfrac{3}{5}\cdot 0+\dfrac{4}{5}\cdot 1,\;\dfrac{4}{5}\cdot 0+\dfrac{3}{5}\cdot 1\right) =\left(\dfrac{4}{5},\;\dfrac{3}{5}\right).

Passo 8

(Pequena verificação — serve para ganhar confiança) Verifico que vetores sobre a reta r são fixos pela reflexão. Tomemos (1,2) que está na reta y=2x. Aplicando S:
S(1,2)=\left(-\dfrac{3}{5}\cdot 1+\dfrac{4}{5}\cdot 2,\;\dfrac{4}{5}\cdot 1+\dfrac{3}{5}\cdot 2\right) =\left(\dfrac{5}{5},\dfrac{10}{5}\right)=(1,2),
confirmando que pontos da reta permanecem os mesmos (como deve ocorrer numa reflexão). Isso aumenta a confiança de que a matriz está correta.

Resposta

S(x,y)=\displaystyle\left(-\dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5}y,\;\dfrac{4}{5}x+\dfrac{3}{5}y\right)
S(1,0)=\displaystyle\left(-\dfrac{3}{5},\;\dfrac{4}{5}\right)
S(0,1)=\displaystyle\left(\dfrac{4}{5},\;\dfrac{3}{5}\right)

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