Apresente a Transformação Linear H: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, tal que H(1,1)=(0,1,1) e H(1,-1)=(1,0,1). A Transformação H pode ser sobrejetora? Justifique!

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) apresentar uma transformação linear H:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 que satisfaça as condições \,H(1,1)=(0,1,1)\, e \,H(1,-1)=(1,0,1)\,; (2) decidir se essa transformação pode ser sobrejetora, dando justificativa.
Informações dadas (resumidas):
v_1=(1,1),\qquad H(v_1)=(0,1,1),
v_2=(1,-1),\qquad H(v_2)=(1,0,1).

Passo 2

Verificar que \,v_1=(1,1)\, e \,v_2=(1,-1)\, formam uma base de \mathbb{R}^2. Para isso checamos independência linear: suponha \alpha v_1+\beta v_2=0. Escrevendo em coordenadas,
\alpha\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Isso dá o sistema \alpha+\beta=0 e \alpha-\beta=0. Somando as duas equações obtemos 2\alpha=0\Rightarrow\alpha=0; daí \beta=0. Logo são linearmente independentes. Outra maneira rápida é observar o determinante da matriz com colunas v_1,v_2:
\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&-1\end{pmatrix}=-2\neq0,
então são base. Importante: como estes dois vetores formam base de \mathbb{R}^2, especificar H sobre v_1 e v_2 determina H de forma única em toda \mathbb{R}^2.]

Passo 3

Vamos encontrar H nas bases canônicas. Denotemos e_1=(1,0) e e_2=(0,1). Escrevemos v_1 e v_2 em termos de e_1,e_2:
v_1=e_1+e_2,\qquad v_2=e_1-e_2.
Pela linearidade de H,
H(v_1)=H(e_1)+H(e_2)=(0,1,1),
H(v_2)=H(e_1)-H(e_2)=(1,0,1).
Denotando a:=H(v_1) e b:=H(v_2), temos o sistema vetorial
H(e_1)+H(e_2)=a,\qquad H(e_1)-H(e_2)=b.
Somando e subtraindo essas equações obtemos fórmulas para H(e_1) e H(e_2):
2H(e_1)=a+b\quad\Rightarrow\quad H(e_1)=\frac{a+b}{2},
2H(e_2)=a-b\quad\Rightarrow\quad H(e_2)=\frac{a-b}{2}.

Passo 4

Agora fazemos as contas componente a componente. Tomando a=(0,1,1) e b=(1,0,1), temos
H(e_1)=\frac{1}{2}\bigl((0,1,1)+(1,0,1)\bigr)=\frac{1}{2}(1,1,2)=\begin{pmatrix}1/2\\[2pt]1/2\\[2pt]1\end{pmatrix},
H(e_2)=\frac{1}{2}\bigl((0,1,1)-(1,0,1)\bigr)=\frac{1}{2}(-1,1,0)=\begin{pmatrix}-1/2\\[2pt]1/2\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Portanto a matriz de H na base canônica (uma matriz 3\times2) tem colunas H(e_1) e H(e_2):
A=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Escrever H de forma explícita sobre um vetor genérico (x,y)\in\mathbb{R}^2. Pela linearidade,
H(x,y)=x\,H(e_1)+y\,H(e_2).
Calculando componentes:
H(x,y)=x\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}\\[2pt]1\end{pmatrix} +y\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}\\[2pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{x-y}{2}\\[4pt]\tfrac{x+y}{2}\\[4pt]x\end{pmatrix}.
Assim, uma forma conveniente de apresentar H é:
H:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3,\qquad H(x,y)=\begin{pmatrix}\tfrac{x-y}{2}\\[4pt]\tfrac{x+y}{2}\\[4pt]x\end{pmatrix},
ou, equivalentemente, pela matriz A dada no passo anterior.]

Passo 6

Decidir se H\) pode ser sobrejetora. Argumento por dimensão: o domínio tem dimensão \(\dim\mathbb{R}^2=2\), logo \(\dim(\operatorname{Im}H)\le2\). Como \(\mathbb{R}^3\) tem dimensão \(3\), não é possível que a imagem de \(H\) seja todo \(\mathbb{R}^3\). Logo \(H\) não pode ser sobrejetora. Outra justificativa mais construtiva: um vetor \((a,b,c)\in\mathbb{R}^3\) pertence à imagem de \(H\) iff existem \(x,y\) tais que \[\begin{cases} \dfrac{x-y}{2}=a,\\[6pt] \dfrac{x+y}{2}=b,\\[6pt] x=c. \end{cases}
Usando x=c\] e eliminando \(y obtemos a condição de consistência c=a+b. Portanto \operatorname{Im}H=\{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3:\;c=a+b\}, que é um plano de dimensão 2, não todo \mathbb{R}^3. Exemplo simples: (0,0,1) não está na imagem, porque 1\neq0+0. Assim H não é sobrejetora.]

Resposta

H(x,y)=\displaystyle\begin{pmatrix}\tfrac{x-y}{2}\\[4pt]\tfrac{x+y}{2}\\[4pt]x\end{pmatrix}
Não — H não pode ser sobrejetora, pois \dim(\operatorname{Im}H)\le2<3 (especificamente \operatorname{Im}H=\{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3:c=a+b\}).]

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