Apresente a Transformação Linear H: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, tal que H(1,1)=(0,1,1) e H(1,-1)=(1,0,1). A Transformação H pode ser sobrejetora? Justifique!
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) apresentar uma transformação linear H:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 que satisfaça as condições \,H(1,1)=(0,1,1)\, e \,H(1,-1)=(1,0,1)\,; (2) decidir se essa transformação pode ser sobrejetora, dando justificativa.
Informações dadas (resumidas):
v_1=(1,1),\qquad H(v_1)=(0,1,1),
v_2=(1,-1),\qquad H(v_2)=(1,0,1).
Passo 2
Verificar que \,v_1=(1,1)\, e \,v_2=(1,-1)\, formam uma base de \mathbb{R}^2. Para isso checamos independência linear: suponha \alpha v_1+\beta v_2=0. Escrevendo em coordenadas,
Isso dá o sistema \alpha+\beta=0 e \alpha-\beta=0. Somando as duas equações obtemos 2\alpha=0\Rightarrow\alpha=0; daí \beta=0. Logo são linearmente independentes. Outra maneira rápida é observar o determinante da matriz com colunas v_1,v_2:
então são base. Importante: como estes dois vetores formam base de \mathbb{R}^2, especificar H sobre v_1 e v_2 determina H de forma única em toda \mathbb{R}^2.]
Passo 3
Vamos encontrar H nas bases canônicas. Denotemos e_1=(1,0) e e_2=(0,1). Escrevemos v_1 e v_2 em termos de e_1,e_2:
v_1=e_1+e_2,\qquad v_2=e_1-e_2.
Pela linearidade de H,
H(v_1)=H(e_1)+H(e_2)=(0,1,1),
H(v_2)=H(e_1)-H(e_2)=(1,0,1).
Denotando a:=H(v_1) e b:=H(v_2), temos o sistema vetorial
H(e_1)+H(e_2)=a,\qquad H(e_1)-H(e_2)=b.
Somando e subtraindo essas equações obtemos fórmulas para H(e_1) e H(e_2):
ou, equivalentemente, pela matriz A dada no passo anterior.]
Passo 6
Decidir se H\) pode ser sobrejetora. Argumento por dimensão: o domínio tem dimensão \(\dim\mathbb{R}^2=2\), logo \(\dim(\operatorname{Im}H)\le2\). Como \(\mathbb{R}^3\) tem dimensão \(3\), não é possível que a imagem de \(H\) seja todo \(\mathbb{R}^3\). Logo \(H\) não pode ser sobrejetora. Outra justificativa mais construtiva: um vetor \((a,b,c)\in\mathbb{R}^3\) pertence à imagem de \(H\) iff existem \(x,y\) tais que
\[\begin{cases} \dfrac{x-y}{2}=a,\\[6pt] \dfrac{x+y}{2}=b,\\[6pt] x=c. \end{cases}
Usando x=c\] e eliminando \(y obtemos a condição de consistência c=a+b. Portanto \operatorname{Im}H=\{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3:\;c=a+b\}, que é um plano de dimensão 2, não todo \mathbb{R}^3. Exemplo simples: (0,0,1) não está na imagem, porque 1\neq0+0. Assim H não é sobrejetora.]
Resposta
H(x,y)=\displaystyle\begin{pmatrix}\tfrac{x-y}{2}\\[4pt]\tfrac{x+y}{2}\\[4pt]x\end{pmatrix}
Não — H não pode ser sobrejetora, pois \dim(\operatorname{Im}H)\le2<3 (especificamente \operatorname{Im}H=\{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3:c=a+b\}).]