Realize o que se pede abaixo:
S: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, definida por S(x, y)=\left(x, y, x^{2}\right) é uma Transformação Linear? Justifique!

Passo 1

Enunciado e dados: temos a função S:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} dada por
S(x,y)=\bigl(x,\;y,\;x^{2}\bigr).
O que nos pedem: verificar se S é uma transformação linear e justificar a resposta. Informações relevantes: domínio \mathbb{R}^{2}, contradomínio \mathbb{R}^{3} e a fórmula explícita dos três componentes de S.

Passo 2

Definição de transformação linear (aulas mastigadas): uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^{2} e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades abaixo:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(c\,u)=c\,T(u).
Essas duas propriedades juntas expressam aditividade e homogeneidade. Outra forma equivalente e útil na prática é exigir que, para quaisquer escalares a,b e vetores u,v,
T(a u + b v) = a\,T(u) + b\,T(v).
Um fato importante (consequência das propriedades acima) é que se T é linear então necessariamente
T(0,0)=(0,0,0),
isto é, o vetor zero do domínio é levado no vetor zero do contradomínio.

Passo 3

Verificação da imagem do zero (passo simples e necessário): calculemos
S(0,0)=\bigl(0,\;0,\;0^{2}\bigr)=\bigl(0,\;0,\;0\bigr).
Portanto a condição S(0,0)=(0,0,0) é satisfeita. Isso é necessário para linearidade, mas não suficiente — ainda precisamos checar as propriedades de aditividade e/ou homogeneidade.

Passo 4

Estratégia prática para testar linearidade: é normalmente eficiente testar a propriedade de homogeneidade com um contraexemplo simples. Tomemos o vetor \bigl(1,0\bigr)\in\mathbb{R}^{2} e o escalar 2. Calculamos primeiro S do vetor e depois verificamos S(2\cdot(1,0)) e 2\cdot S(1,0).

Passo 5

Cálculos passo a passo:
S(1,0)=\bigl(1,\;0,\;1^{2}\bigr)=\bigl(1,\;0,\;1\bigr).
Multiplicando por escalar:
2\cdot S(1,0)=2\cdot\bigl(1,\;0,\;1\bigr)=\bigl(2,\;0,\;2\bigr).
Agora aplicamos S ao vetor escalado:
S\bigl(2\cdot(1,0)\bigr)=S(2,0)=\bigl(2,\;0,\;2^{2}\bigr)=\bigl(2,\;0,\;4\bigr).
Comparando os dois resultados vemos que os vetores obtidos não são iguais: \bigl(2,0,2\bigr)\neq\bigl(2,0,4\bigr). Ou seja, a propriedade
S(2\cdot(1,0)) \stackrel{?}{=} 2\cdot S(1,0)
falha.

Passo 6

Interpretação didática do que aconteceu: a falha vem do terceiro componente x^{2}. Uma transformação linear em coordenadas tem cada componente como combinação linear das entradas, ou seja, algo do tipo \alpha x + \beta y. O termo x^{2} não é linear (é de grau 2 em x), por isso a homogeneidade (e em geral a aditividade) pode falhar. O cálculo do passo anterior mostra explicitamente a violação da propriedade de multiplicação por escalar.

Resposta

Não: S não é uma transformação linear.

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