Realize o que se pede abaixo:
, definida por
é uma Transformação Linear? Justifique!
Passo 1
Enunciado e dados: temos a função
dada por
O que nos pedem: verificar se
é uma transformação linear e justificar a resposta. Informações relevantes: domínio
, contradomínio
e a fórmula explícita dos três componentes de
.
Passo 2
Definição de transformação linear (aulas mastigadas): uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem as duas propriedades abaixo:
e
Essas duas propriedades juntas expressam aditividade e homogeneidade. Outra forma equivalente e útil na prática é exigir que, para quaisquer escalares
e vetores
,
Um fato importante (consequência das propriedades acima) é que se
é linear então necessariamente
isto é, o vetor zero do domínio é levado no vetor zero do contradomínio.
Passo 3
Verificação da imagem do zero (passo simples e necessário): calculemos
Portanto a condição
é satisfeita. Isso é necessário para linearidade, mas não suficiente — ainda precisamos checar as propriedades de aditividade e/ou homogeneidade.
Passo 4
Estratégia prática para testar linearidade: é normalmente eficiente testar a propriedade de homogeneidade com um contraexemplo simples. Tomemos o vetor
e o escalar
. Calculamos primeiro
do vetor e depois verificamos
e
.
Passo 5
Cálculos passo a passo:
Multiplicando por escalar:
Agora aplicamos
ao vetor escalado:
Comparando os dois resultados vemos que os vetores obtidos não são iguais:
. Ou seja, a propriedade
falha.
Passo 6
Interpretação didática do que aconteceu: a falha vem do terceiro componente
. Uma transformação linear em coordenadas tem cada componente como combinação linear das entradas, ou seja, algo do tipo
. O termo
não é linear (é de grau
em
), por isso a homogeneidade (e em geral a aditividade) pode falhar. O cálculo do passo anterior mostra explicitamente a violação da propriedade de multiplicação por escalar.
Resposta
Não:
não é uma transformação linear.