Realize as seguintes operações aritméticas na base 16, mostrando todos os passos:
8 C 5 8 C 5 8 C 5 8 \mathrm{C} 5 \mathrm{E} \mid \_36
+36 F -36 F \times 36

Passo 1

O enunciado pede que se realizem, na base hexadecimal (base 16), as quatro operações abaixo (os números foram dados no enunciado):
  • 8C5 + 36F
  • 8C5 - 36F
  • 8C5 \times 36
  • 8C5E \div 36 (calcular quociente e resto)
Vou mostrar passo a passo como operar em base 16, explicar a lógica de cada operação e executar cada cálculo detalhadamente.

Passo 2

Noções rápidas antes de calcular (lembrando sempre em base 16):
  • Os dígitos hexadecimais e seus valores decimais são:
    0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15.
  • Soma e produto são feitos como em base 10, mas cada vez que o resultado alcança 16 ou mais, converte-se em múltiplos de 16 (transporta-se/coloca-se carry de 1 por cada 16); o resto fica como dígito hex.
    Agora somamos 8C5 + 36F coluna a coluna (da direita para a esquerda):
Coluna das unidades: 5 + F.
  • 5 = 5_{10}, F = 15_{10}. Soma decimal 5+15=20.
  • 20 = 1\cdot16 + 4. Escreve-se o resto 4 e gera-se carry 1.
Coluna dos hexes (16s): C + 6 + carry 1.
  • C = 12_{10}, 6=6_{10}. Soma 12+6+1=19.
  • 19 = 1\cdot16 + 3. Escreve-se 3, carry 1.
Coluna dos 16^2: 8 + 3 + carry 1.
  • Soma 8+3+1=12.
  • 12 em hex é C. Não há carry final.
Portanto o resultado da soma é C34 (hex).

Passo 3

Agora a subtração 8C5 - 36F. Usa-se empréstimo (borrow) quando o dígito superior é menor que o inferior.
Coluna das unidades: 5 - F.
  • 5 < F então emprestamos 1 (que vale 16 na coluna das unidades) da coluna seguinte.
  • 5 + 16 = 21. Agora 21 - 15 = 6. Escreve-se 6.
  • Após o empréstimo, a coluna do meio teve C reduzido em 1: C - 1 = B (isto é, 12-1=11).
Coluna dos hexes (16s): B - 6.
  • B = 11. 11 - 6 = 5. Escreve-se 5.
Coluna dos 16^2: 8 - 3 = 5. Escreve-se 5.
Portanto o resultado da subtração é 556 (hex).

Passo 4

Multiplicação 8C5 \times 36. Faz-se multiplicação direta por cada dígito do multiplicador (como em papel), lembrando que a posição do dígito mais alto corresponde a um deslocamento de uma casa hex (multiplica-se por 16 quando se desloca uma posição).
Multiplicamos primeiro por 6 (unidade do multiplicador):
  • 6 \times 5 = 30_{10} = 1\cdot16 + 14. Resto 14 = E, carry 1.
  • 6 \times C(=12) = 72. Soma carry 1: 72+1=73. 73 = 4\cdot16 + 9. Resto 9, carry 4.
  • 6 \times 8 = 48. Soma carry 4: 48+4=52. 52 = 3\cdot16 + 4. Resto 4, carry 3.
  • Como não há mais dígitos, colocamos carry 3 à esquerda.
    Resultado parcial (multiplicação por 6, sem deslocamento): 349E.
Agora multiplicamos por 3 (que está na posição dos hexes, ou seja, vale 3\cdot16): o produto será deslocado uma casa hex (equivalente a acrescentar um zero hex à direita).
Multiplicação por 3:
  • 3 \times 5 = 15 = F, carry 0.
  • 3 \times C(12) = 36. 36 = 2\cdot16 + 4. Resto 4, carry 2.
  • 3 \times 8 = 24. Soma carry 2: 24+2=26. 26 = 1\cdot16 + 10. Resto 10 = A, carry 1.
  • Colocamos carry 1 à esquerda.
    Resultado parcial (multiplicação por 3, com deslocamento de uma casa): 1A4F, e com deslocamento fica 1A4F0.
Agora somamos os dois parciais em hex:
\begin{array}{r} \;1A4F0\\\\ +\,0349E\\\ \hline \end{array}
Soma coluna a coluna (da direita para a esquerda):
  • \;0 + E = E.
  • F + 9 = 0xF + 0x9 = 24_{10} = 1\cdot16 + 8. Escreve-se 8, carry 1.
  • 4 + 4 + 1 = 9.
  • A + 3 = D (pois 10+3=13).
  • 1 + 0 = 1.
Resultado final da multiplicação: 1D98E (hex).

Passo 5

Divisão 8C5E \div 36 (buscando quociente e resto). Uma forma prática para checar e para fazer sem calculadora é:
  • converter os valores para decimal (para facilitar a divisão por tentativa e conferência), realizar a divisão inteira lá, e depois converter quociente e resto de volta para hex; depois validar fazendo produto em hex.
Convertemos:
  • 8C5E_{16} = 8\cdot16^3 + C\cdot16^2 + 5\cdot16 + E.
    Calculando: 8\cdot4096 = 32768, C(12)\cdot256 = 3072, 5\cdot16 = 80, E(14)=14.
    Soma: 32768+3072+80+14 = 35934. Então 8C5E_{16} = 35934_{10}.
  • 36_{16} = 3\cdot16 + 6 = 48 + 6 = 54_{10}.
Dividimos em decimal: 35934 \div 54.
  • Fazendo a divisão inteira: 54 \times 665 = 35910. Resto 35934-35910 = 24.
    Logo quociente decimal 665, resto decimal 24.
Convertemos quociente e resto para hex:
  • Quociente 665_{10}: dividir por 16:
    665 \div 16 = 41 resto 9.
    41 \div 16 = 2 resto 9.
    2 \div 16 = 0 resto 2.
    Logo em hex: 299_{16}.
  • Resto 24_{10} = 16 + 8 = 0x18. Então resto 18_{16}.
Verificação rápida em hex:
  • Multiplica-se o divisor pelo quociente e soma o resto: (36)_{16} \times (299)_{16} + (18)_{16} deve dar 8C5E_{16}.
    Já fizemos multiplicações semelhantes antes e a verificação decimal bate: 54_{10}\times665_{10}+24_{10}=35910+24=35934, que é o decimal do dividendo. Logo está correto.

Resposta

C34_{16}
556_{16}
1D98E_{16}
299_{16},\\\ 18_{16}

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