Realize as seguintes operações aritméticas na base 8 , mostrando todos os passos:
7462 7462 7462 7462
+5637 -5637 x 56

Passo 1

O enunciado pede que eu execute, em base 8, as seguintes operações (os números já estão escritos em base 8):
  • Somar \,7462_8 + 5637_8.
  • Subtrair \,7462_8 - 5637_8.
  • Multiplicar \,7462_8 \times 56_8.
Informações relevantes que temos: todos os dígitos aparecem em base 8, portanto cada dígito vale de 0 até 7. Em base 8, quando uma coluna dá um resultado igual ou maior que 8 faz-se uma “vai 1” (carry) para a coluna seguinte; na subtração, quando um dígito é menor que o subtraendo faz-se o empréstimo de 1 da coluna seguinte (que vale 8 naquela posição). Na multiplicação por um dígito, o produto de dois dígitos pode ultrapassar 7, então converte-se o produto para resto e carry usando divisões por 8. Vou mostrar todos os passos coluna a coluna, como se fôssemos fazer na prova sem calculadora.

Passo 2

Breve lembrete pedagógico (como trabalhar coluna a coluna em base 8):
  • Adição: somar os dígitos da coluna; escrever o resto da divisão por 8 nessa coluna e levar o quociente (carry) para a coluna seguinte. Ex.: se a soma dá 9_{10}, como 9 = 1\cdot8 + 1, escreve-se 1 e leva-se 1.
  • Subtração: se o dígito superior é menor que o inferior, pedir 1 da coluna à esquerda (esse 1 vale 8 nessa posição), subtrair e ajustar a coluna de onde se tomou o empréstimo.
  • Multiplicação por um dígito: multiplicar cada dígito (em decimal ou em base 8), converter o produto em forma q\cdot8 + r e escrever r na posição, levando q como carry para a próxima multiplicação mais à esquerda. Ao multiplicar por um dígito que ocupa a segunda casa (como o 5 em 56_8), depois de calcular o produto por 5 coloca-se um zero à direita (deslocamento de uma casa em base 8).

Passo 3

Realizando a soma \,7462_8 + 5637_8 coluna a coluna (da direita para a esquerda):
Unidades:
2 + 7 = 9_{10} \quad\text{e}\quad 9 = 1\cdot8 + 1 \Rightarrow \text{escrevo }1\text{ e levo }1.
Oitavas:
6 + 3 + 1_{\text{vai}} = 10_{10} \quad\text{e}\quad 10 = 1\cdot8 + 2 \Rightarrow \text{escrevo }2\text{ e levo }1.
8^2 (sessenta e quatro):
4 + 6 + 1_{\text{vai}} = 11_{10} \quad\text{e}\quad 11 = 1\cdot8 + 3 \Rightarrow \text{escrevo }3\text{ e levo }1.
8^3 (quatrocentos e doze):
7 + 5 + 1_{\text{vai}} = 13_{10} \quad\text{e}\quad 13 = 1\cdot8 + 5 \Rightarrow \text{escrevo }5\text{ e levo }1.
Como sobrou o carry 1 na coluna seguinte, escrevemos esse 1 à esquerda. Assim o resultado (da esquerda para a direita) é:
15321_8.

Passo 4

Realizando a subtração \,7462_8 - 5637_8 coluna a coluna (da direita para a esquerda), com empréstimos quando necessário:
Unidades:
2 - 7 \text{ não dá (2 < 7)},\text{ então tomo emprestado 1 da coluna seguinte (vale 8): }2+8=10_{10}.ãáã
10 - 7 = 3 \Rightarrow \text{escrevo }3.
Agora a coluna dos 8's (originalmente 6) ficou 5 por causa do empréstimo.
Oitavas:
5 - 3 = 2 \Rightarrow \text{escrevo }2.
8^2:
4 - 6 \text{ não dá (4 < 6)},\text{ então tomo emprestado 1 da coluna seguinte (vale 8): }4+8=12_{10}.ãáã
12 - 6 = 6 \Rightarrow \text{escrevo }6.
A coluna mais à esquerda ( 8^3) era 7 e ficou 6 após esse empréstimo.
8^3:
6 - 5 = 1 \Rightarrow \text{escrevo }1.
Portanto o resultado da subtração é
1623_8.

Passo 5

Explicação e preparação para a multiplicação \,7462_8 \times 56_8:
  • Vou multiplicar primeiro por 6_8 (digito das unidades de 56_8), obtendo um produto parcial.
  • Depois multiplicar por 5_8 (digito das “oitavas” de 56_8), obtenho outro parcial que deve ser deslocado uma casa à esquerda (acrescentando um zero em base 8).
  • Por fim somo os parciais em base 8.

Passo 6

Multiplicação parcial por 6_8: calcular \,7462_8 \times 6_8 coluna a coluna (direita para esquerda), levando carries em base 8:
Unidades:
2 \times 6 = 12_{10} \quad\text{e}\quad 12 = 1\cdot8 + 4 \Rightarrow \text{escrevo }4 \text{ e levo }1.
Oitavas:
6 \times 6 = 36_{10},\quad 36 + 1_{\text{vai}} = 37_{10}.
37 = 4\cdot8 + 5 \Rightarrow \text{escrevo }5 \text{ e levo }4.
8^2:
4 \times 6 = 24_{10},\quad 24 + 4_{\text{vai}} = 28_{10}.
28 = 3\cdot8 + 4 \Rightarrow \text{escrevo }4 \text{ e levo }3.
8^3:
7 \times 6 = 42_{10},\quad 42 + 3_{\text{vai}} = 45_{10}.
45 = 5\cdot8 + 5 \Rightarrow \text{escrevo }5 \text{ e levo }5.
Como sobrou carry 5 à esquerda, colocamos esse 5. O produto parcial é
55454_8 \quad(\text{este é }7462_8\times6_8).é

Passo 7

Multiplicação parcial por 5_8: calcular \,7462_8 \times 5_8 (antes do deslocamento) coluna a coluna:
Unidades:
2 \times 5 = 10_{10} \quad\text{e}\quad 10 = 1\cdot8 + 2 \Rightarrow \text{escrevo }2 \text{ e levo }1.
Oitavas:
6 \times 5 = 30_{10},\quad 30 + 1_{\text{vai}} = 31_{10}.
31 = 3\cdot8 + 7 \Rightarrow \text{escrevo }7 \text{ e levo }3.
8^2:
4 \times 5 = 20_{10},\quad 20 + 3_{\text{vai}} = 23_{10}.
23 = 2\cdot8 + 7 \Rightarrow \text{escrevo }7 \text{ e levo }2.
8^3:
7 \times 5 = 35_{10},\quad 35 + 2_{\text{vai}} = 37_{10}.
37 = 4\cdot8 + 5 \Rightarrow \text{escrevo }5 \text{ e levo }4.
Sobrou carry 4 à esquerda, então o produto (antes do deslocamento) é
45772_8 \quad(\text{este é }7462_8\times5_8).é
Agora deslocamos esse parcial uma casa à esquerda (multiplicar por 8, porque o 5 está na posição das oitavas em 56_8), isto é, acrescentamos um zero à direita em base 8:
45772_8 \rightarrow 457720_8.

Passo 8

Somar os dois parciais em base 8:
\begin{array}{r} \;055454_8\\\\ +\,457720_8\\\ \hline \end{array}
Somando coluna a coluna (da direita para a esquerda):
Unidades:
4 + 0 = 4.
Oitavas:
5 + 2 = 7.
8^2:
4 + 7 = 11_{10},\quad 11 = 1\cdot8 + 3 \Rightarrow \text{escrevo }3 \text{ e levo }1.
8^3:
5 + 7 + 1_{\text{vai}} = 13_{10},\quad 13 = 1\cdot8 + 5 \Rightarrow \text{escrevo }5 \text{ e levo }1.
8^4:
5 + 5 + 1_{\text{vai}} = 11_{10},\quad 11 = 1\cdot8 + 3 \Rightarrow \text{escrevo }3 \text{ e levo }1.
8^5:
0 + 4 + 1_{\text{vai}} = 5 \Rightarrow \text{escrevo }5.
Portanto a soma dos parciais dá o produto final:
535374_8.

Resposta

7462_8 + 5637_8 = 15321_8
7462_8 - 5637_8 = 1623_8
7462_8 \times 56_8 = 535374_8

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