Realize as seguintes transformações:
Converta os números -45_{10} e 325,7_{10} para uma representação binária em ponto flutuante com 14 bits, dos quais 6 bits são usados para o expoente.

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas:\n
  • Converter os números -45_{10} e 325{,}7_{10} para uma representação em ponto flutuante com 14 bits no total.\n
  • Desses 14 bits, 6 são usados para o expoente.\n
  • Não há instrução explícita sobre o modo de arredondamento; vou usar arredondamento para o mais próximo (round-to-nearest), arredondando para cima quando o bit seguinte for 1 e existirem bits subsequentes não nulos (ou em caso de empate faço tie-to-even). Vou avisar sempre quando arredondar.\n
    Informações relevantes que vamos usar (a partir do formato):\n
  • Total de bits =14.\n
  • Bits: 1 bit de sinal, 6 bits de expoente, 7 bits de fração (mantissa sem o 1 implícito), porque 14-1-6=7.\n
  • Bias do expoente (para k=6 bits) é \text{bias}=2^{k-1}-1=2^{5}-1=31.\n
  • Representação normalizada: número ≈ (−1)^{\text{sign}}\times 1.\text{fraction}\times 2^{e}, com o expoente armazenado E = e + \text{bias}.\n
  • Expoente armazenado E cabe em 6 bits (valores 0 a 63); E=0 e E=63 são especiais (subnormais/zero e Inf/NaN). Para números normalizados 1 \le E \le 62, logo e varia entre 1-\text{bias}=-30 e 62-\text{bias}=31.\n

Passo 2

Breve aula sobre como montar o número final (passo-a-passo didático):\n
  1. Determinar o bit de sinal: 0 para positivo, 1 para negativo.\n
  2. Escrever o valor absoluto em binário separando parte inteira e parte fracionária.\n
    • Para a parte inteira usamos divisões sucessivas por 2 (restos formam os bits).\n
    • Para a parte fracionária usamos multiplicações sucessivas por 2 (a parte inteira do produto é o próximo bit fracionário).\n3) Normalizar para a forma 1.\text{mantissa} \times 2^{e}. O deslocamento feito dá o expoente e.\n4) Calcular E = e + \text{bias} e escrever E em 6 bits binários.\n5) Preencher os 7 bits de fração pegando os primeiros 7 bits após o 1.. Se existir mais bits além dos 7, usar-os para decidir o arredondamento (guard/round/sticky):\n - Se o próximo bit (guard) é 0 e os seguintes todos 0, não arredonda.\n - Se o próximo bit é 1 e quaisquer bits seguintes são 1 (ou for empate com bit anterior ímpar), arredonda para cima.\n6) Concatenar: \text{sign} \; \text{(6 bits expoente)} \; \text{(7 bits fração)}çã.\n
      Agora aplicamos isso aos dois números, passo a passo.

Passo 3

Conversão de -45_{10}:\n
a) Sinal: como é negativo, \text{sign}=1.\n
b) Converter |-45|=45 para binário (divisões por 2):\n
45\div2=22 resto 1\n
22\div2=11 resto 0\n
11\div2=5 resto 1\n
5\div2=2 resto 1\n
2\div2=1 resto 0\n
1\div2=0 resto 1\n
Lendo os restos de baixo para cima obtemos 45_{10}=101101_{2}.\n
c) Normalizar 101101_{2}:\n
101101_{2}=1.01101_{2}\times 2^{5} (porque deslocamos o ponto 5 posições à esquerda).\n
Logo e=5.\n
d) Expoente armazenado: E=e+\text{bias}=5+31=36.\n
Escrever 36 em 6 bits:\n
36_{10}=32+4 \Rightarrow em binário 36_{10}=100100_{2} (6 bits: 1 0 0 1 0 0).\n
e) Mantissa (7 bits): a parte fracionária do formato normalizado é 0.01101. Precisamos de 7 bits após o ponto:\n
A sequência fracionária é 01101 seguida de zeros (pois 45 é inteiro), então preenchendo até 7 bits obtemos 0110100 (acrescentando dois zeros à direita).\n
Não há mais bits além desses (todos zeros), portanto nenhum arredondamento é necessário.\n
f) Montagem final: sinal 1, expoente 100100, fração 0110100.\n
Concatenando: 1\;100100\;0110100. Em único bloco de 14 bits: 11001000110100.\n
(Se quiser conferir: esse padrão representa -1 \times 1.0110100_{2}\times 2^{5}, que é exatamente -45 porque os bits fracionários correspondem exatamente a 0.01101_{2}.)

Passo 4

Conversão de 325{,}7_{10}:\n
a) Sinal: número positivo → \text{sign}=0.\n
b) Parte inteira 325 para binário (divisões ou decomposição):\n
Usando potências: 325=256+64+4+1 → bits em posições 2^{8},2^{6},2^{2},2^{0}.\n\n
Portanto 325_{10}=101000101_{2}. (Confere: 1\cdot256+1\cdot64+1\cdot4+1\cdot1=325.)\n
c) Parte fracionária 0{,}7 para binário (multiplicações sucessivas por 2):\n
0{,}7\times2=1{,}4 → bit 1, resto 0{,}4.\n
0{,}4\times2=0{,}8 → bit 0, resto 0{,}8.\n
0{,}8\times2=1{,}6 → bit 1, resto 0{,}6.\n
0{,}6\times2=1{,}2 → bit 1, resto 0{,}2.\n
0{,}2\times2=0{,}4 → bit 0, resto 0{,}4.\n
A partir daqui vemos que o resto 0{,}4 se repete, então a sequência de bits fracionários entra em ciclo.\n
Os primeiros bits fracionários são: 0{,}7_{10} = .101100110011\ldots_{2}.\n
Observação: a sequência é periódica (repete 0011 depois do começo), então não é representável exatamente com poucos bits.\n
d) Normalizar o número inteiro+fracionário:\n
O binário completo é 101000101.1011001100\ldots_{2}.\n
Para normalizar colocamos o ponto depois do primeiro 1:\n
101000101.101100\ldots_{2}=1.01000101101100\ldots_{2}\times 2^{8}.\n
Logo e=8.\n
e) Expoente armazenado: E=e+\text{bias}=8+31=39.\n
Em 6 bits: 39_{10}=32+4+2+1 \Rightarrow 100111_{2}.\n
f) Determinar os 7 bits de fração (os 7 primeiros bits após o 1. na forma normalizada):\n
A sequência logo após o 1. é a concatenação dos bits remanescentes da parte inteira (os 8 bits menos o primeiro) e da parte fracionária da conversão:\n
Os primeiros bits após o 1. são: 0\;1\;0\;0\;0\;1\;0\;1\;1\;0\ldots\n
(especificamente, os 8 bits da parte inteira residual são 01000101, e depois vêm os bits da fração 101100\ldots).\n
Pegamos os primeiros 7 bits: 0\;1\;0\;0\;0\;1\;0, ou seja em bloco 0100010.\n
g) Arredondamento: olhamos o bit seguinte (o oitavo bit) e os bits subsequentes para decidir arredondar.\n
  • O bit 8 (guard bit) é 1 (é o último bit da parte inteira residual, o 8^{\circ} após o ponto).\n- Existem bits seguintes não nulos (vêm os bits da fração, começando por 1\ldots).\n
    Portanto, pelo critério round-to-nearest, devemos arredondar para cima somando 1 ao LSB dos 7 bits mantissa.\n\n
    h) Soma para arredondar: 0100010_{2} + 1_{2} = 0100011_{2}.\n
    Sem overflow — o acréscimo cabe nos 7 bits.\n
    i) Montagem final: sinal 0, expoente 100111, fração 0100011.\n
    Concatenando: 0\;100111\;0100011. Em único bloco de 14 bits: 01001110100011.\n
    (Interpretação aproximada: isso representa +1.0100011_{2}\times 2^{8}, que é uma aproximação de 325{,}7; a diferença vem da truncatura/arredondamento da parte fracionária binária infinita.)

Passo 5

Resumo e checagens rápidas (didática final):\n
  • Para -45 vimos que era exato na forma binária inteira, a mantissa coube sem arredondamento.\n
  • Para 325{,}7 a parte fracionária em binário é periódica, por isso tivemos que truncar e arredondar; por isso o bit seguinte sendo 1 e existirem bits subsequentes não nulos forçaram o arredondamento para cima da mantissa.\n
    Isso cobre todo o procedimento que você precisará aplicar na prova: converter parte inteira por divisões, parte fracionária por multiplicações, normalizar, calcular E=e+\text{bias}, preencher mantissa e aplicar arredondamento seguindo guard/round/sticky.\n
    Você consegue — respira e confia no passo a passo. 😉

Resposta

\,-45_{10} \longrightarrow 1\;100100\;0110100 = 11001000110100_{2}\n
\,325{,}7_{10} \longrightarrow 0\;100111\;0100011 = 01001110100011_{2}

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