P 2) Um reator batelada de volume constante de 400 \mathrm{dm}^{3} é pressurizado a 10 atm , com uma mistura de 60 \% de A e 40 \% de Inertes. A reação em fase gasosa de \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}+\mathrm{C} ocorre isotermicamente a 227^{\circ} \mathrm{C}.
a) Assumindo lei do gás ideal, qual a concentração e o número de moles iniciais?
b) Se a reação é de 1^{\underline{\mathrm{a}}} ordem, com \mathrm{k}=0,1 \mathrm{~min}^{-1}. Calcule o tempo necessário para consumir 99 \% de A.
c) Se a reação é de 2^{\underline{\mathrm{a}}} ordem, com \mathrm{k}=0,7 \mathrm{dm}^{3} /(\mathrm{mol} . \mathrm{min}). Calcule o tempo para que A não reagido tenha 20%.
d) Calcule também a pressão no reator nas condições anteriores e 127^{\circ} \mathrm{C}.
\mathrm{R}=0,082\left(\mathrm{dm}^{3} \cdot \mathrm{~atm}\right) /(\mathrm{mol} . \mathrm{K})

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede as respostas a)–d):
  • Volume do reator: V=400\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • Pressão inicial: P=10\\ \mathrm{atm}.
  • Mistura inicial: 60\% de \mathrm{A} e 40\% de inertes (assume-se fração molar).
  • Reação gasosa isotérmica: \mathrm{A}\rightarrow\mathrm{B}+\mathrm{C}.
  • Temperatura de trabalho (parte principal): 227^\circ\mathrm{C}.
  • Constante dos gases: R=0,082\\ (\mathrm{dm}^{3}\cdot\mathrm{atm})/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}).
  • Para (b): reação de 1ª ordem com k=0,1\\ \mathrm{min}^{-1} e pede tempo para consumir 99\% de \mathrm{A}.
  • Para (c): reação de 2ª ordem com k=0,7\\ \mathrm{dm}^{3}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{min}) e pede tempo até restar 20\% de \mathrm{A} (ou seja, conversão X=0,80).
  • Para (d): pede calcular a pressão no reator “nas condições anteriores e 127^\circ\mathrm{C}” — interpretar-se-á como calcular a pressão após os graus de conversão obtidos em (b) e (c) nas duas temperaturas 227^\circ\mathrm{C} e 127^\circ\mathrm{C}.
Observações numéricas úteis que já extraí do enunciado (serão usadas nos passos seguintes):
  • Temperatura 227^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_1=227+273=500\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura 127^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_2=127+273=400\\ \mathrm{K}.
  • Fração molar de \mathrm{A}: y_A=0,60. Fração molar inertes y_I=0,40.

Passo 2

(a) Calcular concentração inicial de \mathrm{A} e número de moles iniciais.
Vamos usar a lei dos gases ideais para obter o número total de mols na condição inicial e depois separar a porção de \mathrm{A}.
A lei dos gases ideais:
PV = n_{\text{tot}} R T,
onde P é a pressão total, V o volume, n_{\text{tot}} o número total de mols, R a constante dos gases e T a temperatura absoluta.
Calcule n_{\text{tot}} em T_1=500\\ \mathrm{K}:
n_{\text{tot}}=\frac{P V}{R T_1}=\frac{10\cdot 400}{0,082\cdot 500}.
Agora, executar a conta passo a passo:
0,082\cdot 500=41,
n_{\text{tot}}=\frac{4000}{41}=97{,}560976\\ \text{mol}\\ (\text{aprox.}).
A fração molar de \mathrm{A} é y_A=0,60, logo o número de mols de \mathrm{A} inicialmente é
n_{A0}=y_A\,n_{\text{tot}}=0,60\cdot 97{,}560976=58{,}536586\\ \text{mol}.
A concentração (molaridade em \mathrm{mol/dm}^3) inicial de \mathrm{A} pode ser obtida de duas formas equivalentes: usando a pressão parcial p_A=y_A P com p_A=6\\ \mathrm{atm} ou dividindo n_{A0} pelo volume V. Usando p_A e a lei dos gases:
C_{A0}=\frac{p_A}{R T_1}=\frac{0{,}6\cdot 10}{0,082\cdot 500}=\frac{6}{41}=0{,}14634146\\ \mathrm{mol/dm}^3.
Verificação rápida pela outra rota:
C_{A0}=\frac{n_{A0}}{V}=\frac{58{,}536586}{400}=0{,}14634146\\ \mathrm{mol/dm}^3,
mesmo valor (boa prática: confirma consistência).

Passo 3

(b) Tempo para consumir 99\% de \mathrm{A} na cinética de 1ª ordem.
Para reação de ordem 1 (única espécie reagente \mathrm{A}), a lei integrada é
\ln\!\left(\frac{C}{C_0}\right)=-k t,
onde C é a concentração no tempo t, C_0 a concentração inicial e k a constante de velocidade (unidade \mathrm{min}^{-1} aqui).
Se queremos consumir 99\% de \mathrm{A}, sobra 1\%, então
\frac{C}{C_0}=0{,}01.
Logo
t=-\frac{1}{k}\ln(0{,}01)=\frac{1}{k}\ln(100).
Substituindo k=0{,}1\\ \mathrm{min}^{-1}:
t=\frac{\ln(100)}{0{,}1}=\frac{4{,}605170}{0{,}1}=46{,}0517\\ \mathrm{min}.
Arredondando de forma razoável: t\approx 46{,}05\\ \mathrm{min}.

Passo 4

(c) Tempo para que reste 20\% de \mathrm{A} na cinética de 2ª ordem.
Para reação de 2ª ordem na forma A \rightarrow produtos (caso puro de segunda ordem em A), a forma integrada é
\frac{1}{C}-\frac{1}{C_0}=k t,
onde k tem unidades \mathrm{dm}^3/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{min}).
Queremos C=0{,}20\,C_0. Substituindo:
\frac{1}{0{,}20\,C_0}-\frac{1}{C_0}=k t.
Fatorando 1/C_0:
\left(\frac{1}{0{,}20}-1\right)\frac{1}{C_0}=k t \quad\Rightarrow\quad \frac{4}{C_0}=k t.
Logo
t=\frac{4}{k C_0}.
Agora usar C_0=C_{A0}=0{,}14634146\\ \mathrm{mol/dm}^3 e k=0{,}7\\ \mathrm{dm}^3/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{min}):
k C_0=0{,}7\cdot 0{,}14634146=0{,}10243902\\ \mathrm{min}^{-1},
t=\frac{4}{0{,}10243902}=39{,}0619\\ \mathrm{min}.
Arredondando: t\approx 39{,}06\\ \mathrm{min}.

Passo 5

(d) Pressão no reator após as reações (casos de conversão de b e c) nas duas temperaturas 227^\circ\mathrm{C} (500 K) e 127^\circ\mathrm{C} (400 K).
Primeiro, entender como muda o número total de mols quando a reação A\rightarrow B+C ocorre: para cada 1 mol de A consumida forma-se 2 mols de produtos gasosos, portanto o ganho líquido de mols por mol de A reagida é +1 mol. Se a conversão de A é X (fração reagida), então o número total final de mols é
n_{\text{tot},f}=n_I + n_{A0}(1+X),
onde n_I é o número de mols de inertes (constante) e n_{A0} o número inicial de mols de A. Outra forma útil:
n_{\text{tot},f}=n_{\text{tot},0}+n_{A0}\,X,
pois o total cresce em n_{A0}X.
Já calculamos:
n_{\text{tot},0}=97{,}560976\\ \text{mol},\quad n_{A0}=58{,}536586\\ \text{mol},
e os inertes n_I=0{,}40\cdot n_{\text{tot},0}=39{,}024390\\ \text{mol}.
Caso (b): X=0{,}99 (99% reagido).
n_{\text{tot},f}^{(b)}=n_{\text{tot},0}+n_{A0}\cdot 0{,}99=97{,}560976+58{,}536586\cdot 0{,}99=155{,}512195\\ \text{mol}.
Caso (c): X=0{,}80 (resta 20%).
n_{\text{tot},f}^{\text{(c)}}=97{,}560976+58{,}536586\cdot 0{,}80=144{,}390244\\ \text{mol}.
Agora usar a equação dos gases ideais para obter a pressão final:
P_f=\frac{n_{\text{tot},f} R T}{V}.
É conveniente calcular o fator \dfrac{R T}{V} para cada temperatura.
Para T_1=500\\ \mathrm{K}:
R T_1=0{,}082\cdot 500=41,\qquad \frac{R T_1}{V}=\frac{41}{400}=0{,}1025\\ \frac{\mathrm{atm}}{\text{mol}}.
Logo as pressões em 227^\circ\mathrm{C} são
P^{(b)}_{500K}=155{,}512195\cdot 0{,}1025=15{,}9360\\ \mathrm{atm},
P^{\text{(c)}}_{500K}=144{,}390244\cdot 0{,}1025=14{,}7954\\ \mathrm{atm}.
Para T_2=400\\ \mathrm{K}:
R T_2=0{,}082\cdot 400=32{,}8,\qquad \frac{R T_2}{V}=\frac{32{,}8}{400}=0{,}082\\ \frac{\mathrm{atm}}{\text{mol}}.
As pressões em 127^\circ\mathrm{C} são
P^{(b)}_{400K}=155{,}512195\cdot 0{,}082=12{,}7510\\ \mathrm{atm},
P^{\text{(c)}}_{400K}=144{,}390244\cdot 0{,}082=11{,}8410\\ \mathrm{atm}.
Checagem rápida: a pressão inicial com n_{\text{tot},0}=97{,}560976 a T_1 P=97{,}560976\cdot 0{,}1025\approx10{,}0\\ \mathrm{atm} (consistente com o dado inicial).

Resposta

(a) C_{A0}=0,14634\\ \mathrm{mol/dm}^{3},\quad n_{A0}=58,5366\\ \mathrm{mol}.
(b) t=46,05\\ \mathrm{min}.
(c) t=39,06\\ \mathrm{min}.
(d) Pressões calculadas:
  • Para 99\% de conversão ( X=0{,}99): P_{227^\circ\mathrm{C}}=15,936\\ \mathrm{atm},\quad P_{127^\circ\mathrm{C}}=12,751\\ \mathrm{atm}.
  • Para sobra de 20\% de A ( X=0{,}80): P_{227^\circ\mathrm{C}}=14,795\\ \mathrm{atm},\quad P_{127^\circ\mathrm{C}}=11,841\\ \mathrm{atm}.

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