P 3) Que hipóteses foram feitas na dedução da equação de projeto para:
(a) O reator batelada (BR)?

Passo 1

O que o enunciado pede: listar as hipóteses feitas na dedução da equação de projeto para o reator batelada (BR).
Informações relevantes que usarei para a dedução (padrão em livros de cinética e operações unitárias): definição de concentração, número de mols, volume do batelada, taxa de reação volumétrica e conversão. Não se pede resolver um caso numérico; pede-se explicitar as hipóteses usadas na dedução da equação de projeto.

Passo 2

Definir as variáveis que aparecem na dedução (vou usar estas notações sempre em TeX):
N_A(t)\\ \text{= número de mols de A no reator no tempo }t,ú
C_A(t)=\frac{N_A(t)}{V}\\ \text{= concentração de A (mol·L^{-1})},çã
V\\ \text{= volume do batelada (L),}
r_A(C_A,T)\\ \text{= taxa volumétrica de produção de A (mol·L^{-1}·s^{-1}),}éçã
X=\frac{C_{A0}-C_A}{C_{A0}}\\ \text{= conversão de A (adimensional),}ã
onde C_{A0} é a concentração inicial de A. Estas definições são padrão e toda dedução usa-as.

Passo 3

Escrever o balanço de matéria para o componente A no batelada (passo conceitual): “acumulação = entrada - saída + geração”. Para batelada fechado não há entrada nem saída de corrente de massa, portanto o balanço fica apenas acumulação = geração por reação. Em fórmulas:
\frac{dN_A}{dt}=r_A V.
Aqui usei a convenção r_A como taxa volumétrica (positivo se A é formado, negativo se consumido). Explanação didática: em um batelada não há fluxos de alimentação ou saída durante o tempo de reação, então a única forma de mudar N_A é a reação química dentro do volume.

Passo 4

Passar do balanço em números de mols para concentração. Se o volume é constante, divide-se por V e obtém-se
\frac{dC_A}{dt}=r_A.
Aqui aparece explicitamente uma hipótese: a dedução divide por V e assume V constante (ou, pelo menos, conhecido e constante durante o processo). Além disso esta passagem pressupõe que a concentração é uniforme no reator, ou seja, não há gradientes espaciais de concentração — hipótese de mistura perfeita. Vou explicar cada hipótese com calma mais adiante.

Passo 5

Expressar o balanço em termos de conversão X. Se assumirmos este relacionamento simples entre C_A e X:
C_A = C_{A0}(1-X),
então diferenciando em relação a t
\frac{dC_A}{dt} = -C_{A0}\frac{dX}{dt}.
Substituindo em \dfrac{dC_A}{dt}=r_A obtemos
-C_{A0}\frac{dX}{dt}=r_A \quad\Rightarrow\quad \frac{dX}{dt}=-\frac{r_A}{C_{A0}}.
Rearranjando e integrando de X=0 a X=X_f obtemos a equação de projeto usual do batelada:
t=\int_{0}^{X_f}\frac{C_{A0}}{-r_A}\,dX.
Comentário didático: esta é a forma usada para projetar o tempo necessário para atingir uma conversão X_f. Note que para usar \;C_A=C_{A0}(1-X)\; foi crucial a hipótese de volume constante e a escolha de definição de X baseada em C_{A0}.

Passo 6

Agora vou enumerar e explicar pedagogicamente cada hipótese que foi necessária na dedução acima (aqui ensino para você poder reconhecer e justificar cada uma na hora da prova):
  1. Sistema fechado (sem correntes de entrada ou saída): pressupõe-se que durante o tempo de reação o reator não recebe nem perde massa. Isso elimina termos de fluxo do balanço. Se houvesse alimentação contínua, o balanço mudaria para incluir F_{A0} e F_{A}.
  2. Mistura perfeita (homogeneidade espacial): a concentração C_A é a mesma em todo o volume do reator, i.e., C_A=C_A(t) apenas função do tempo. Sem essa hipótese seria preciso resolver balanços com dependência espacial (perfil de concentração) ou incluir coeficientes de transferência em sistemas heterogêneos.
  3. Volume constante ( V= constante): divide-se o balanço por V para obter \dfrac{dC_A}{dt}=r_A e usa-se C_A=C_{A0}(1-X). Se o volume variá-se com a conversão (por exemplo, gases que mudam de moles ou reação que altera densidade), a relação entre C_A e X é diferente e o fator V entra explicitamente na integral.
  4. Definição simples de conversão baseada em concentração inicial com estequiometria unitária: ao usar C_A=C_{A0}(1-X) assume-se que a relação entre consumo de A e conversão é direta (por exemplo estequiometria \nu_A=-1 no balanço utilizado). Para reações com coeficientes estequiométricos diferentes ou múltiplas reações, a expressão de C_A em função de X muda.
  5. Cinética local bem definida e válida (taxa r_A depende de C_A e possivelmente de T, mas é uniforme no volume): assume-se que existe uma expressão de cinética aplicável (por ex.: r_A=-kC_A^n) e que essa taxa representa a velocidade volumétrica média no reator. Em sistemas heterogêneos ou com limitações de transporte massa/energia, esta expressão pode não ser válida sem correções.
  6. Ausência de resistências externas (transferência de massa/energia não limitante): ou seja, não há limitações significativas entre fase reativa e fase onde a reação ocorre (por exemplo, se houver catalisador sólido, assume-se que não há controle por difusão externa/interna). Caso contrário, o termo r_A efetivo seria influenciado por essas resistências.
  7. (Opcional, quando adotado) Isotermicidade / temperatura conhecida: se a dedução integra -r_A usando uma lei cinética com k(T) constante no tempo, então está implícita a hipótese de temperatura constante (isotérmico) ou de T(t) conhecida. Se \;T varia e k depende muito de T, precisa-se do balanço de energia acoplado.
  8. Fluido homogêneo (fase única) quando se usa concentração diretamente: aplica-se quando a reação ocorre em fase única (p.ex. solução líquida homogênea). Para reações gasosas com variação de número de mols, a conversão/concentração podem envolver pressão e volume variáveis.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar (didático): suponha reação de primeira ordem com r_A=-kC_A e hipóteses acima válidas (mistura perfeita, V constante, isotérmico). A equação do Passo 5 dá
\frac{dX}{dt}=-\frac{-kC_A}{C_{A0}}=\frac{kC_A}{C_{A0}}=k(1-X).
Integrando
\int_{0}^{X_f}\frac{dX}{1-X}=\int_{0}^{t}k\,dt \quad\Rightarrow\quad -\ln(1-X_f)=kt,
ou
t=\frac{-\ln(1-X_f)}{k}.
Aqui vê-se claramente que a forma simples de t depende de todas as hipóteses anteriores; se qualquer uma falhar, a expressão muda.

Passo 8

Resumo rápido: na hora da prova, ao deduzir a equação do batelada ou aplicar a fórmula prontinha, verifique mentalmente se o problema admite: sistema fechado, mistura perfeita, volume constante, cinética bem definida, ausência de limitações de transporte e, se usar k constante, isotermicidade. Se alguma dessas falhar, explique como o balanço muda (por exemplo, incluir V(t), incluir F_{A0}, ou acoplar balanço de energia).

Resposta

Sistema fechado (sem correntes de entrada/saída).
Mistura perfeita (concentração uniforme no volume, dependente só do tempo).
Volume constante ( V= constante) e relação simples C_A=C_{A0}(1-X) (implicitamente assumindo estequiometria adequada).
Existência de uma lei cinética válida e aplicável localmente ( r_A função conhecida de C_A e T).
Ausência de limitações de transferência de massa/energia (taxa controlada pela cinética, não por difusão).
(se aplicável) Isotermicidade ou temperatura conhecida/controle (se k for tratada como constante).

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