P 3) Que hipóteses foram feitas na dedução da equação de projeto para:
(a) O reator batelada (BR)?
(a) O reator batelada (BR)?
Passo 1
O que o enunciado pede: listar as hipóteses feitas na dedução da equação de projeto para o reator batelada (BR).
Informações relevantes que usarei para a dedução (padrão em livros de cinética e operações unitárias): definição de concentração, número de mols, volume do batelada, taxa de reação volumétrica e conversão. Não se pede resolver um caso numérico; pede-se explicitar as hipóteses usadas na dedução da equação de projeto.
Informações relevantes que usarei para a dedução (padrão em livros de cinética e operações unitárias): definição de concentração, número de mols, volume do batelada, taxa de reação volumétrica e conversão. Não se pede resolver um caso numérico; pede-se explicitar as hipóteses usadas na dedução da equação de projeto.
Passo 2
Definir as variáveis que aparecem na dedução (vou usar estas notações sempre em TeX):
onde
é a concentração inicial de
. Estas definições são padrão e toda dedução usa-as.
Passo 3
Escrever o balanço de matéria para o componente
no batelada (passo conceitual): “acumulação = entrada - saída + geração”. Para batelada fechado não há entrada nem saída de corrente de massa, portanto o balanço fica apenas acumulação = geração por reação. Em fórmulas:
Aqui usei a convenção
como taxa volumétrica (positivo se
é formado, negativo se consumido). Explanação didática: em um batelada não há fluxos de alimentação ou saída durante o tempo de reação, então a única forma de mudar
é a reação química dentro do volume.
Passo 4
Passar do balanço em números de mols para concentração. Se o volume é constante, divide-se por
e obtém-se
Aqui aparece explicitamente uma hipótese: a dedução divide por
e assume
constante (ou, pelo menos, conhecido e constante durante o processo). Além disso esta passagem pressupõe que a concentração é uniforme no reator, ou seja, não há gradientes espaciais de concentração — hipótese de mistura perfeita. Vou explicar cada hipótese com calma mais adiante.
Passo 5
Expressar o balanço em termos de conversão
. Se assumirmos este relacionamento simples entre
e
:
então diferenciando em relação a
dá
Substituindo em
obtemos
Rearranjando e integrando de
a
obtemos a equação de projeto usual do batelada:
Comentário didático: esta é a forma usada para projetar o tempo necessário para atingir uma conversão
. Note que para usar
foi crucial a hipótese de volume constante e a escolha de definição de
baseada em
.
Passo 6
Agora vou enumerar e explicar pedagogicamente cada hipótese que foi necessária na dedução acima (aqui ensino para você poder reconhecer e justificar cada uma na hora da prova):
-
Sistema fechado (sem correntes de entrada ou saída): pressupõe-se que durante o tempo de reação o reator não recebe nem perde massa. Isso elimina termos de fluxo do balanço. Se houvesse alimentação contínua, o balanço mudaria para incluir
e . -
Mistura perfeita (homogeneidade espacial): a concentração
é a mesma em todo o volume do reator, i.e., apenas função do tempo. Sem essa hipótese seria preciso resolver balanços com dependência espacial (perfil de concentração) ou incluir coeficientes de transferência em sistemas heterogêneos. -
Volume constante (
constante): divide-se o balanço por para obter e usa-se . Se o volume variá-se com a conversão (por exemplo, gases que mudam de moles ou reação que altera densidade), a relação entre e é diferente e o fator entra explicitamente na integral. -
Definição simples de conversão baseada em concentração inicial com estequiometria unitária: ao usar
assume-se que a relação entre consumo de e conversão é direta (por exemplo estequiometria no balanço utilizado). Para reações com coeficientes estequiométricos diferentes ou múltiplas reações, a expressão de em função de muda. -
Cinética local bem definida e válida (taxa
depende de e possivelmente de , mas é uniforme no volume): assume-se que existe uma expressão de cinética aplicável (por ex.: ) e que essa taxa representa a velocidade volumétrica média no reator. Em sistemas heterogêneos ou com limitações de transporte massa/energia, esta expressão pode não ser válida sem correções. -
Ausência de resistências externas (transferência de massa/energia não limitante): ou seja, não há limitações significativas entre fase reativa e fase onde a reação ocorre (por exemplo, se houver catalisador sólido, assume-se que não há controle por difusão externa/interna). Caso contrário, o termo
efetivo seria influenciado por essas resistências. -
(Opcional, quando adotado) Isotermicidade / temperatura conhecida: se a dedução integra
usando uma lei cinética com constante no tempo, então está implícita a hipótese de temperatura constante (isotérmico) ou de conhecida. Se varia e depende muito de , precisa-se do balanço de energia acoplado. -
Fluido homogêneo (fase única) quando se usa concentração diretamente: aplica-se quando a reação ocorre em fase única (p.ex. solução líquida homogênea). Para reações gasosas com variação de número de mols, a conversão/concentração podem envolver pressão e volume variáveis.
Passo 7
Exemplo rápido para fixar (didático): suponha reação de primeira ordem com
e hipóteses acima válidas (mistura perfeita,
constante, isotérmico). A equação do Passo 5 dá
Integrando
ou
Aqui vê-se claramente que a forma simples de
depende de todas as hipóteses anteriores; se qualquer uma falhar, a expressão muda.
Passo 8
Resumo rápido: na hora da prova, ao deduzir a equação do batelada ou aplicar a fórmula prontinha, verifique mentalmente se o problema admite: sistema fechado, mistura perfeita, volume constante, cinética bem definida, ausência de limitações de transporte e, se usar
constante, isotermicidade. Se alguma dessas falhar, explique como o balanço muda (por exemplo, incluir
, incluir
, ou acoplar balanço de energia).
Resposta
Sistema fechado (sem correntes de entrada/saída).
Mistura perfeita (concentração uniforme no volume, dependente só do tempo).
Volume constante ( constante) e relação simples
(implicitamente assumindo estequiometria adequada).
Existência de uma lei cinética válida e aplicável localmente ( função conhecida de
e
).
Ausência de limitações de transferência de massa/energia (taxa controlada pela cinética, não por difusão).
(se aplicável) Isotermicidade ou temperatura conhecida/controle (se for tratada como constante).
Mistura perfeita (concentração uniforme no volume, dependente só do tempo).
Volume constante (
Existência de uma lei cinética válida e aplicável localmente (
Ausência de limitações de transferência de massa/energia (taxa controlada pela cinética, não por difusão).
(se aplicável) Isotermicidade ou temperatura conhecida/controle (se