Um reator batelada de volume constante ( 400 \mathrm{dm}^{3} ) é pressurizado a 10 atm com uma mistura de (\mathrm{A} e B )(2 / 3) e inertes (1/3). Seja a reação:
\mathrm{A}+\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}+\mathrm{D}
que ocorre isotermicamente a 227^{\circ} \mathrm{C}.
a) Assumindo a lei do gás ideal, qual a concentração e o número de moles iniciais?
b) Se a reação é de \mathrm{l}^{\circ} ordem, com \mathrm{k}=0,1 \mathrm{~min}. Calcule o tempo necessário para reduzir para 1 \% de A .
c) Se a reação é de 2" ordem, com \mathrm{k}=0,7 \mathrm{dm}^{3} /(\mathrm{mol} . \mathrm{min}). Calcule o tempo onde A não reagido tenha 20 \%.
d) Calcule também a pressão no reator nas condições anteriores e 127^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, com os números que vamos usar:
  • Volume do reator: V=400\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • Pressão inicial: P=10\\ \mathrm{atm}.
  • Mistura por fração molar: (\mathrm{A}+\mathrm{B})=2/3 e inertes =1/3. Vou assumir (pela forma do enunciado) que A e B estão em partes iguais dentro dos 2/3, ou seja y_A=1/3, y_B=1/3, y_{\text{inertes}}=1/3.
  • Temperatura do processo (inicial): 227^\circ\mathrm{C}=227+273=500\\ \mathrm{K}.
  • Reação: \mathrm{A}+\mathrm{B}\rightarrow \mathrm{C}+\mathrm{D} (1:1:1:1).
    O enunciado pede:
    a) concentração inicial e número de mols iniciais (usar lei dos gases ideais);
    b) se a cinética é de 1ª ordem com k=0{,}1\\ \mathrm{min}^{-1}, tempo para reduzir A a 1\% do inicial;
    c) se a cinética é de 2ª ordem com k=0{,}7\\ \mathrm{dm}^{3}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{min}), tempo para restar 20\% de A;
    d) calcular a pressão no reator nas condições anteriores e a 127^\circ\mathrm{C} (vou explicar como a pressão muda com a temperatura e com o progresso da reação).

Passo 2

Cálculo do número total de mols iniciais usando a lei dos gases ideais. Relembrando a lei dos gases ideais:
PV=nRT
onde
  • P é a pressão (em \mathrm{atm}),
  • V é o volume (em \mathrm{dm}^{3}, que é o mesmo que litros),
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases ideais, R=0{,}082057\\ \mathrm{dm}^{3}\cdot\mathrm{atm}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}),
  • T é a temperatura em Kelvin.
    Aplicando:
n_{\text{total}}=\frac{P V}{R T}=\frac{10\\ \mathrm{atm}\cdot 400\\ \mathrm{dm}^{3}}{0{,}082057\\ \mathrm{dm}^{3}\!\cdot\!\mathrm{atm}/(\mathrm{mol}\!\cdot\!\mathrm{K}) \cdot 500\\ \mathrm{K}}.
Agora faço a conta (mostrando os passos aritméticos):
0{,}082057\cdot 500=41{,}0285, \qquad 10\cdot 400=4000,
n_{\text{total}}=\frac{4000}{41{,}0285}\approx 97{,}52\\ \mathrm{mol}.

Passo 3

Determinando as mols e concentrações iniciais de cada componente. Como assumi y_A=1/3, y_B=1/3, y_{\text{inertes}}=1/3, temos:
  • Mols iniciais de A:
n_A = \frac{1}{3} n_{\text{total}}=\frac{1}{3}\cdot 97{,}52\approx 32{,}51\\ \mathrm{mol}.
  • Mols iniciais de B:
n_B \approx 32{,}51\\ \mathrm{mol}.
  • Mols de inertes:
n_{\text{inertes}}\approx 32{,}51\\ \mathrm{mol}.
Concentração (molaridade) é c=n/V (mol por \mathrm{dm}^{3}). Então:
  • Concentração total:
c_{\text{total}}=\frac{n_{\text{total}}}{V}=\frac{97{,}52}{400}\approx 0{,}24379\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{dm}^{-3}.
  • Concentração inicial de A:
c_{A0}=\frac{n_A}{V}\approx \frac{32{,}51}{400}\approx 0{,}08126\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{dm}^{-3}.
Mesma coisa para B: c_{B0}\approx 0{,}08126\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{dm}^{-3}.
Breve comentário didático: a constante R tem unidades compatíveis com litros/atm·mol·K quando o volume está em litros (ou \mathrm{dm}^{3}). Atenção a unidades — usamos \mathrm{dm}^{3} em todo lugar para ficar consistente.

Passo 4

Parte (b): cinética de 1ª ordem com k=0{,}1\\ \mathrm{min}^{-1}. Derivação da equação integrada de 1ª ordem e cálculo do tempo para ficar com 1\% de A.
  • Para reação de 1ª ordem em A (lei: -\dfrac{d c_A}{dt}=k c_A), a solução integrada é
c_A(t)=c_{A0}\,e^{-k t}.
Aqui c_{A0} é a concentração inicial de A e k tem unidades \mathrm{min}^{-1}.
  • Queremos c_A(t)/c_{A0}=0{,}01 (ou seja, 1\% restante). Então:
0{,}01=e^{-k t}\quad\Rightarrow\quad t=\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{1}{0{,}01}\right)=\frac{1}{k}\ln(100).
Substituindo k=0{,}1\\ \mathrm{min}^{-1}:
t=\frac{1}{0{,}1}\ln(100)=10\cdot \ln(100)=10\cdot 4{,}605170\ldots\approx 46{,}05\\ \mathrm{min}.

Passo 5

Parte (c): cinética 2ª ordem com k=0{,}7\\ \mathrm{dm}^{3}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{min}). Interpretação e resolução para ficar com 20\% de A restante.
  • Para a reação \mathrm{A}+\mathrm{B}\rightarrow produtos com lei de velocidade r=k c_A c_B, e quando inicialmente c_{A0}=c_{B0}=c_0 (caso simétrico), ao longo da reação c_A(t)=c_B(t) e a taxa se torna r=k c_A^2. Então é matematicamente equivalente ao caso de 2ª ordem pura em uma única espécie:
-\frac{d c_A}{dt}=k c_A^2.
  • A equação integrada para esse caso (com condição inicial c_A(0)=c_0) é:
\frac{1}{c_A(t)}=\frac{1}{c_0}+k t.
  • Queremos c_A(t)/c_0=0{,}20. Então c_A(t)=0{,}20 c_0. Substituindo:
\frac{1}{0{,}20 c_0}=\frac{1}{c_0}+k t \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{0{,}20}-1 = k t\, c_0.
Calculando o lado esquerdo:
\frac{1}{0{,}20}-1=5-1=4.
Logo:
k t c_0 =4 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{4}{k c_0}.
  • Substituindo k=0{,}7\\ \mathrm{dm}^{3}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{min}) e c_0=c_{A0}=0{,}08126\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{dm}^{-3}:
k c_0 =0{,}7\cdot 0{,}08126\approx 0{,}0568841\\ \mathrm{min}^{-1},
t=\frac{4}{0{,}0568841}\approx 70{,}33\\ \mathrm{min}.

Passo 6

Parte (d): pressão no reator nas condições anteriores e a 127^\circ\mathrm{C}. Explicação física e cálculo.
  • Observação importante (didática): a reação tem estequiometria 1+1\rightarrow 1+1. Isso significa que, para cada mol de A consumido e cada mol de B consumido, produzem-se dois mols de produtos C e D que somam igualmente 2 mols por 2 mols reagidos; o número total de mols gasosos no sistema NÃO muda devido à reação (assumindo que todos os componentes permanecem na fase gasosa).
  • Portanto, se o volume e a temperatura são mantidos constantes durante a reação, a pressão permanece constante durante o progresso da reação (pois P=\dfrac{nRT}{V} e n não muda).
  • Consequência imediata para as condições do enunciado:
    • A pressão no reator durante o processo isotérmico a 227^\circ\mathrm{C} (isto é, T=500\\ \mathrm{K}) permanece a pressão inicial:
    P_{227^\circ\mathrm{C}}=10\\ \mathrm{atm}.Isso vale tanto para o caso (b) quanto para o caso (c): a conversão de A não altera n_{\text{total}}.
  • Se mudarmos a temperatura para 127^\circ\mathrm{C}=127+273=400\\ \mathrm{K}, mantendo o volume fixo e com o mesmo número total de mols, a pressão se ajusta segundo a lei dos gases ideais proporcional a T:
P=\frac{n R T}{V}\\ \Rightarrow\\ \frac{P_2}{P_1}=\frac{T_2}{T_1}.
Substituindo P_1=10\\ \mathrm{atm}, T_1=500\\ \mathrm{K}, T_2=400\\ \mathrm{K}:
P_{127^\circ\mathrm{C}}=10\cdot\frac{400}{500}=10\cdot 0{,}8=8\\ \mathrm{atm}.
  • Conclusão: a pressão é 10\\ \mathrm{atm} a 227^\circ\mathrm{C} (independente da conversão), e 8\\ \mathrm{atm} a 127^\circ\mathrm{C}.

Resposta

a) c_{A0}=0{,}08126\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{dm}^{-3},\quad c_{B0}=0{,}08126\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{dm}^{-3}.
a) n_{\text{total}}\approx 97{,}52\\ \mathrm{mol},\quad n_A\approx 32{,}51\\ \mathrm{mol},\quad n_B\approx 32{,}51\\ \mathrm{mol}.
b) t\approx 46{,}05\\ \mathrm{min}.
c) t\approx 70{,}33\\ \mathrm{min}.
d) P_{227^\circ\mathrm{C}}=10\\ \mathrm{atm}.
d) P_{127^\circ\mathrm{C}}=8\\ \mathrm{atm}.

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