Em um reator nuclear, calor é gerado uniformemente em barras cilíndricas de urânio com 5 cm de diâmetro a uma taxa de 7 \times 10^{7} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}. Se o comprimento das hastes for 1 m , determine a taxa de geração de calor em cada haste.
Resp: 137,4 kW

Passo 1

O enunciado pede a taxa de geração de calor (potência total) em cada haste cilíndrica. Dados fornecidos:
  • Diâmetro da haste: 5\\ \mathrm{cm}.
  • Taxa volumétrica de geração de calor: \dot{q}''' = 7\times10^{7}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}.
  • Comprimento da haste: 1\\ \mathrm{m}.
    A pergunta é: qual é a potência total Q gerada em uma haste de comprimento 1\\ \mathrm{m}?

Passo 2

Primeiro converto as unidades para o SI (metros). O diâmetro é 5\\ \mathrm{cm}, logo:
\text{diâmetro} = 5\\ \mathrm{cm} = 0{,}05\\ \mathrm{m}.â
O raio r é metade do diâmetro, portanto:
r = \frac{0{,}05\\ \mathrm{m}}{2} = 0{,}025\\ \mathrm{m}.
Explicação rápida: trabalhar em metros deixa tudo compatível com \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}, assim as unidades se cancelam corretamente.

Passo 3

Volume de uma haste cilíndrica: a fórmula é
V = \pi r^{2} L,
onde:
  • V é o volume em \mathrm{m}^{3},
  • r é o raio em \mathrm{m},
  • L é o comprimento em \mathrm{m}.
    Essa fórmula vem da área da base \pi r^{2} multiplicada pelo comprimento (altura) do cilindro.

Passo 4

Calculo r^{2} e o volume passo a passo:
r^{2} = \left(0{,}025\\ \mathrm{m}\right)^{2} = 0{,}000625\\ \mathrm{m}^{2}.
Aplicando na fórmula do volume com L=1\\ \mathrm{m}:
V = \pi \times 0{,}000625\\ \mathrm{m}^{2} \times 1\\ \mathrm{m} = 0{,}000625\pi\\ \mathrm{m}^{3}.
Avaliação numérica (usando \pi\approx3{,}14159265):
V \approx 0{,}000625\times 3{,}14159265 = 0{,}0019634954\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 5

Relação entre geração volumétrica e potência total: a potência total Q (em \mathrm{W}) gerada dentro do volume é a taxa volumétrica multiplicada pelo volume:
Q = \dot{q}''' \, V.
Unidades: \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}\times \mathrm{m}^{3} = \mathrm{W}. Isso faz sentido fisicamente: somamos a geração de cada pequeno volume para obter a potência total.

Passo 6

Substituindo os números:
Q = 7\times10^{7}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3} \times 0{,}0019634954\\ \mathrm{m}^{3}.
Faço a multiplicação:
Q \approx 137444{,}678\\ \mathrm{W}.
Convertendo para quilowatts (dividindo por 1000):
Q \approx 137{,}444678\\ \mathrm{kW}.
Arredondando conforme a resposta dada e considerando três algarismos significativos:
Q \approx 137{,}4\\ \mathrm{kW}.

Resposta

137{,}4\\ \mathrm{kW}

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