Exercício - Katz 8.4
Considere o escoamento sobre uma asa plana de formato elíptico de razão de aspecto igual a 6 e corda central de 1,5 \mathrm{~m}, com ângulo de ataque \alpha=3^{\circ}. Um flap cuja envergadura ocupa a metade central da envergadura da asa é defletido de forma que a distribuição do ângulo para sustentação nula ao longo da envergadura da asa é dado por
\begin{array}{rlllr} \alpha_{L=0}=-\beta & \text { para } & -\frac{b}{4}<y<\frac{b}{4} & \\\ \alpha_{L=0}=0 & \text { para } & -\frac{b}{2}<y<-\frac{b}{4} & \text { e } & \frac{b}{4}<y<\frac{b}{2} \end{array}
sendo \beta=1,5^{\circ} uma constante.
Usando a teoria da linha de sustentação encontre o coeficiente de sustentação da asa e plote um gráfico com a distribuição de circulação ao longo da envergadura.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Encontrar o coeficiente de sustentação da asa (coeficiente de lift, [C_L)).
  2. Mostrar (plotar) a distribuição de circulação ao longo da envergadura.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Razão de aspecto: }\mathrm{AR}=6,\\\ &\text{corda central: }c_0=1{,}5\\ \mathrm{m},\\\ &\text{ângulo de ataque: }\alpha=3^\circ,\\\ &\text{distribuição de ângulo para }L=0:\quad \begin{cases} \alpha_{L=0}=-\beta &\text{ para } -\dfrac{b}{4}<y<\dfrac{b}{4},\\[4pt] \alpha_{L=0}=0 &\text{ para } -\dfrac{b}{2}<y<-\dfrac{b}{4}\\ \text{ e }\\ \dfrac{b}{4}<y<\dfrac{b}{2}, \end{cases}\\[6pt] &\beta=1{,}5^\circ. \end{aligned}ãâçãâ
Observações geométricas que vêm do enunciado (úteis mais adiante):
  • A asa tem formato elíptico de corda variável com a lei elíptica; para asa elíptica a corda varia como
c(y)=c_0\sqrt{1-\left(\frac{2y}{b}\right)^2}.
  • O flap ocupa a metade central da envergadura, isto é, a região (|y|<b/4].
A partir daqui vou usar a teoria da linha de sustentação (Prandtl) e trabalhar passo a passo para obter C_L e a distribuição de circulação \Gamma(y).]

Passo 2

Breve introdução (didática) à ideia que vamos usar — Prandtl lifting-line em linguagem simples:
  • A linha de sustentação diz que a circulação \Gamma(y) ao longo da envergadura determina a sustentação local; a equação integral relaciona o ângulo geométrico local com o ângulo de sustentação nula e com o downwash induzido pela própria distribuição \Gamma.
  • A técnica prática e clássica é parametrizar a posição spanwise por um ângulo \theta usando
y=\frac{b}{2}\cos\theta,\qquad 0\le\theta\le\pi,
pois para asa elíptica essa escolha simplifica muito as integrais (ela transforma a corda elíptica em c(\theta)=c_0\sin\theta).
  • Expandimos a circulação na série trigonométrica (base de senos):
\Gamma(\theta)=2bU\sum_{n=1}^{\infty} A_n\sin(n\theta),
onde U é a velocidade de voo. Essa forma é escolhida porque satisfaz as condições de extremidades e funciona bem com a integral de induzido.
  • A equação de equilíbrio (forma usual para lifting-line, sem detalhe do derivation aqui) é, em \theta,
\alpha(\theta)-\alpha_{L=0}(\theta) =\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin(n\theta) +\frac{a_0\,c(\theta)}{4b}\sum_{n=1}^{\infty} n A_n\sin(n\theta),
onde a_0 é a inclinação de curva de sustentação da seção (para aerofólio fino a_0=2\pi por radiano).
  • Para asa elíptica c(\theta)=c_0\sin\theta e a propriedade de ortogonalidade com peso \sin\theta
\int_0^\pi \sin\theta\,\sin(n\theta)\sin(m\theta)\,d\theta = \delta_{nm}
faz com que o sistema para os coeficientes A_n seja diagonal — isto éuma grande simplificação: cada A_n pode ser obtido isoladamente por projeção.
Vou usar essa formulação explícita e mostrar as contas.

Passo 3

Calcular a envergadura b e a superfície S da asa elíptica (precisamos de b para as fórmulas).
Área de uma asa com corda elíptica:
S=\int_{-b/2}^{b/2} c(y)\,dy = \frac{\pi b c_0}{4}.
Da definição de razão de aspecto \mathrm{AR}=b^2/S obtemos
\mathrm{AR}=\frac{b^2}{S}=\frac{b^2}{\pi b c_0/4}=\frac{4b}{\pi c_0},
logo
b=\frac{\pi c_0\,\mathrm{AR}}{4}.
Substituindo c_0=1{,}5\\ \mathrm{m} e \mathrm{AR}=6,
b=\frac{\pi\cdot 1{,}5\cdot 6}{4}=\frac{9\pi}{4}\\ \mathrm{m}\approx 7{,}06858347\\ \mathrm{m}.
Também fica útil:
\frac{c_0}{b}=\frac{1{,}5}{9\pi/4}=\frac{2}{3\pi}.

Passo 4

Converta ângulos para radianos (sempre trabalhar em radianos nas fórmulas):
\alpha=3^\circ=\frac{3\pi}{180}=\frac{\pi}{60}\\ \text{rad},\qquad \beta=1{,}5^\circ=\frac{1{,}5\pi}{180}=\frac{\pi}{120}\\ \text{rad}.
Adote a_0=2\pi (valor usual para aerofólio fino).

Passo 5

Montagem da equação para os coeficientes A_m (projeção ortogonal).
Multiplicando a equação
\alpha(\theta)-\alpha_{L=0}(\theta) =\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin(n\theta) +\frac{a_0 c_0\sin\theta}{4b}\sum_{n=1}^{\infty} n A_n\sin(n\theta)
por \sin(m\theta) e integrando \theta\in[0,\pi], usando a ortogonalidade padrão
\int_0^\pi \sin(n\theta)\sin(m\theta)\,d\theta=\frac{\pi}{2}\delta_{nm}
e
\int_0^\pi \sin\theta\,\sin(n\theta)\sin(m\theta)\,d\theta=\delta_{nm},
resulta (cada m separado):
\left(\frac{\pi}{2}+\frac{a_0 c_0 m}{4b}\right)A_m =\int_0^\pi\big(\alpha(\theta)-\alpha_{L=0}(\theta)\big)\sin(m\theta)\,d\theta.
Portanto
A_m=\frac{1}{\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{a_0 c_0 m}{4b}}\; \int_0^\pi\big(\alpha(\theta)-\alpha_{L=0}(\theta)\big)\sin(m\theta)\,d\theta.
Agora explicitamos a integral do lado direito usando a forma de \alpha_{L=0} dada:
  • A função \alpha(\theta) é constante igual a \alpha.
  • A função \alpha_{L=0}(\theta) é -\beta para \theta\in(\pi/3,2\pi/3) (porque |y|<b/4 corresponde a |\cos\theta|<1/2, i.e. \theta\in(\pi/3,2\pi/3)), e é 0 fora dessa faixa.
Logo, a integral se escreve
\int_0^\pi(\alpha-\alpha_{L=0})\sin(m\theta)\,d\theta =\alpha\int_0^\pi\sin(m\theta)\,d\theta +\beta\int_{\pi/3}^{2\pi/3}\sin(m\theta)\,d\theta.
As integrais podem ser avaliadas em forma fechada:
\int_0^\pi\sin(m\theta)\,d\theta=\frac{1-(-1)^m}{m},
\int_{\pi/3}^{2\pi/3}\sin(m\theta)\,d\theta=\frac{\cos\!\left(\dfrac{m\pi}{3}\right)-\cos\!\left(\dfrac{2m\pi}{3}\right)}{m}.
Portanto o numerador (chamo de R_m) é
R_m=\frac{1}{m}\Big[\,\alpha\big(1-(-1)^m\big) +\beta\big(\cos\!\tfrac{m\pi}{3}-\cos\!\tfrac{2m\pi}{3}\big)\Big].
Relembre também o denominador simplificado: com a_0=2\pi e c_0/b=\dfrac{2}{3\pi},
\frac{\pi}{2}+\frac{a_0 c_0 m}{4b}=\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi\;c_0 m}{4b} =\frac{\pi}{2}+\frac{m}{3}.
Portanto
A_m=\frac{ \dfrac{1}{m}\Big[\,\alpha\big(1-(-1)^m\big) +\beta\big(\cos\!\tfrac{m\pi}{3}-\cos\!\tfrac{2m\pi}{3}\big)\Big] } {\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{m}{3}}.
Este resultado é ótimo: cada A_m pode ser calculado separadamente (sistema diagonal) — consequência da escolha elíptica da corda.

Passo 6

Calcule numericamente os primeiros coeficientes A_m (apenas termos ímpares aparecem no termo da ponta \alpha; nota: para muitos m pares o numerador resulta zero). Vou conservar termos até m=11 (suficiente para boa aproximação da distribuição):
Primeiro os valores numéricos de \alpha e \beta:
\alpha=\frac{\pi}{60}\approx 0{,}05235988,\qquad \beta=\frac{\pi}{120}\approx 0{,}02617994.
Calculei (truncando a série nos termos mostrados) os A_m:
\begin{aligned} A_1 &\approx 0{,}068735,\\\ A_2 &\approx 0\\ (\text{aparece zero por simetria das integrais}),\\\ A_3 &\approx 0{,}0067878,\\\ A_4 &\approx 0,\\\ A_5 &\approx 0{,}0080876,\\\ A_6 &\approx 0,\\\ A_7 &\approx 0{,}0047909,\\\ A_8 &\approx 0,\\\ A_9 &\approx 0{,}0012732,\\\ A_{10}&\approx 0,\\\ A_{11}&\approx 0{,}0022720. \end{aligned}
Esses coeficientes já mostram rápido decaimento; com estes termos a aproximação da circulação fica boa para propósitos de plot e de cálculo de C_L.

Passo 7

Obter o coeficiente de sustentação C_L.
Uma relação padrão entre o primeiro coeficiente da série A_1 e o coeficiente de sustentação total é
C_L=\pi\,\mathrm{AR}\,A_1.
(Justificação curta: a integral da circulação leva a C_L\propto A_1 e, ao avaliar os fatores, obtém-se C_L=\pi\mathrm{AR}A_1.)
Com \mathrm{AR}=6 e A_1\approx 0{,}068735,
C_L=\pi\cdot 6\cdot 0{,}068735\approx 1{,}295\\ (\text{adimensional}).
Portanto o coeficiente de sustentação da asa, para \alpha=3^\circ com a distribuição de \alpha_{L=0} dada, é aproximadamente 1{,}295.

Passo 8

Expressão final e instruções para plotar a distribuição de circulação \Gamma(y).
A série truncada que descreve a circulação é
\Gamma(\theta)=2bU\sum_{n=1,3,5,\dots}^{N} A_n\sin(n\theta), \qquad\text{com } y=\frac{b}{2}\cos\theta.
Como usual em lifting-line, \Gamma é simétrica ( \Gamma(-y)=\Gamma(y)). Se quiser um gráfico numérico, recomendo plotar a função normalizada
\widetilde{\Gamma}(y)\equiv\frac{\Gamma(y)}{2bU}=\sum_{n=1,3,5,\dots}^{N} A_n\sin\big(n\operatorname{arccos}(2y/b)\big),
porque assim o fator U e constantes não aparecem e o formato é independente da velocidade.
Para facilitar o plot (por exemplo em Python/Matlab/Excel), segue uma pequena tabela de amostras na metade da asa ( y\ge0), usando os A_n acima e truncando em n\le 11:
\begin{array}{c|c|c} \theta & y=\dfrac{b}{2}\cos\theta\;(\mathrm{m}) & \widetilde{\Gamma}(y)=\sum A_n\sin(n\theta)\\hline \displaystyle \frac{\pi}{2} & 0 & 0{,}064245\\[6pt] \displaystyle \frac{\pi}{3} & \dfrac{b}{4}\approx 1{,}76715 & 0{,}054684\\[6pt] \displaystyle \frac{\pi}{6} & \approx 3{,}05901 & 0{,}040394\\[6pt] 0 & \dfrac{b}{2}\approx 3{,}53429 & 0 \end{array}
Esses pontos permitem desenhar o formato: \widetilde\Gamma tem máximo no centro y=0 e decai até zero na ponta y=b/2. Para um gráfico suave, amostre \theta em 50–100 pontos entre 0 e \pi/2, calcule y e \widetilde\Gamma por
y=\frac{b}{2}\cos\theta,\qquad \widetilde\Gamma(\theta)=\sum_{n=1,3,5,\dots}^{N} A_n\sin(n\theta),
e plote \widetilde\Gamma versus y. Se quiser o valor dimensional \Gamma(y), multiplique por 2bU.]

Resposta

C_L\approx 1{,}295.
Distribuição de circulação (normalizada por 2bU):
\widetilde{\Gamma}(y)=\sum_{n=1,3,5,7,9,11} A_n\sin\!\big(n\operatorname{arccos}(2y/b)\big),
com b=\dfrac{9\pi}{4}\\ \mathrm{m} e coeficientes (usar truncamento em n\le11)
A_1\approx 0{,}068735,\; A_3\approx 0{,}0067878,\; A_5\approx 0{,}0080876,\; A_7\approx 0{,}0047909,\; A_9\approx 0{,}0012732,\; A_{11}\approx 0{,}0022720.
(Tabela de amostra para \widetilde{\Gamma}: (y=0,\;\widetilde{\Gamma}\approx0{,}064245),\\ (y=b/4\approx1{,}76715\\ \mathrm{m},\;\widetilde{\Gamma}\approx0{,}054684),\\ (y\approx3{,}0590\\ \mathrm{m},\;\widetilde{\Gamma}\approx0{,}040394),\\ (y=b/2\approx3{,}53429\\ \mathrm{m},\;\widetilde{\Gamma}=0).)

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