Considere o escoamento sobre uma asa plana de formato elíptico de razão de aspecto igual a 6 e corda central de 1,5 \mathrm{~m}, com ângulo de ataque \alpha=3^{\circ}. Um flap cuja envergadura ocupa a metade central da envergadura da asa é defletido de forma que a distribuição do ângulo para sustentação nula ao longo da envergadura da asa é dado por
\begin{array}{rlllr} \alpha_{L=0}=-\beta & \text { para } & -\frac{b}{4}<y<\frac{b}{4} & \\\ \alpha_{L=0}=0 & \text { para } & -\frac{b}{2}<y<-\frac{b}{4} & \text { e } & \frac{b}{4}<y<\frac{b}{2} \end{array}
sendo \beta=1,5^{\circ} uma constante.
Usando a teoria da linha de sustentação encontre o coeficiente de sustentação da asa e plote um gráfico com a distribuição de circulação ao longo da envergadura.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Encontrar o coeficiente de sustentação da asa (coeficiente de lift, [C_L)).
Mostrar (plotar) a distribuição de circulação ao longo da envergadura.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Razão de aspecto: }\mathrm{AR}=6,\\\ &\text{corda central: }c_0=1{,}5\\ \mathrm{m},\\\ &\text{ângulo de ataque: }\alpha=3^\circ,\\\ &\text{distribuição de ângulo para }L=0:\quad \begin{cases} \alpha_{L=0}=-\beta &\text{ para } -\dfrac{b}{4}<y<\dfrac{b}{4},\\[4pt] \alpha_{L=0}=0 &\text{ para } -\dfrac{b}{2}<y<-\dfrac{b}{4}\\ \text{ e }\\ \dfrac{b}{4}<y<\dfrac{b}{2}, \end{cases}\\[6pt] &\beta=1{,}5^\circ. \end{aligned}
Observações geométricas que vêm do enunciado (úteis mais adiante):
A asa tem formato elíptico de corda variável com a lei elíptica; para asa elíptica a corda varia como
c(y)=c_0\sqrt{1-\left(\frac{2y}{b}\right)^2}.
O flap ocupa a metade central da envergadura, isto é, a região (|y|<b/4].
A partir daqui vou usar a teoria da linha de sustentação (Prandtl) e trabalhar passo a passo para obter C_L e a distribuição de circulação \Gamma(y).]
Passo 2
Breve introdução (didática) à ideia que vamos usar — Prandtl lifting-line em linguagem simples:
A linha de sustentação diz que a circulação \Gamma(y) ao longo da envergadura determina a sustentação local; a equação integral relaciona o ângulo geométrico local com o ângulo de sustentação nula e com o downwash induzido pela própria distribuição \Gamma.
A técnica prática e clássica é parametrizar a posição spanwise por um ângulo \theta usando
y=\frac{b}{2}\cos\theta,\qquad 0\le\theta\le\pi,
pois para asa elíptica essa escolha simplifica muito as integrais (ela transforma a corda elíptica em c(\theta)=c_0\sin\theta).
Expandimos a circulação na série trigonométrica (base de senos):
Agora explicitamos a integral do lado direito usando a forma de \alpha_{L=0} dada:
A função \alpha(\theta) é constante igual a \alpha.
A função \alpha_{L=0}(\theta) é -\beta para \theta\in(\pi/3,2\pi/3) (porque |y|<b/4 corresponde a |\cos\theta|<1/2, i.e. \theta\in(\pi/3,2\pi/3)), e é 0 fora dessa faixa.
Este resultado é ótimo: cada A_m pode ser calculado separadamente (sistema diagonal) — consequência da escolha elíptica da corda.
Passo 6
Calcule numericamente os primeiros coeficientes A_m (apenas termos ímpares aparecem no termo da ponta \alpha; nota: para muitos m pares o numerador resulta zero). Vou conservar termos até m=11 (suficiente para boa aproximação da distribuição):
porque assim o fator U e constantes não aparecem e o formato é independente da velocidade.
Para facilitar o plot (por exemplo em Python/Matlab/Excel), segue uma pequena tabela de amostras na metade da asa (y\ge0), usando os A_n acima e truncando em n\le 11:
Esses pontos permitem desenhar o formato: \widetilde\Gamma tem máximo no centro y=0 e decai até zero na ponta y=b/2. Para um gráfico suave, amostre \theta em 50–100 pontos entre 0 e \pi/2, calcule y e \widetilde\Gamma por