Exercício - Houghton 5.8 (5
ed.)
Uma asa reta, sem torção, tem forma elíptica e é instalada simetricamente em um túnel de vento com sua linha central alinhada com o eixo do túnel. Se a velocidade axial do túnel é
e a asa gira em torno do eixo do túnel com uma pequena velocidade angular
, mostre que a circulação ao longo da envergadura é dada por
e determine
em função de
e dos parâmetros geométricos da asa. (Despreze as correções do túnel de vento)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Mostrar que a circulação ao longo da envergadura pode ser escrita na forma
. - Determinar o coeficiente
em função da velocidade angular e dos parâmetros geométricos da asa (área e envergadura), desprezando correções do túnel de vento.
Informações dadas e hipóteses que vou usar (tudo fornecido ou natural para a situação):
- A asa é reta, sem torção, de planta elíptica e instalada simetricamente no túnel; a linha central da asa está alinhada com o eixo do túnel.
- A velocidade axial do túnel é
. - A asa gira em torno do eixo do túnel com pequena velocidade angular
(pequeno → pequenas inclinações locais). - Desprezam-se efeitos do túnel (paredes, correções de imagem etc).
- Vou trabalhar com a hipótese de aerofólio delgado (teoria de aerofólio fino) — isto permite usar
para ângulos pequenos e a relação de Kutta–Joukowski por unidade de envergadura. - Notação geométrica: envergadura total
, semi-envergadura , área da asa . Vou parametrizar a posição ao longo da semi-envergadura por um ângulo com a transformação usual , .
Passo 2
Mapeamento da coordenada spanwise e distribuição de corda da asa elíptica.
Explicação didática do mapeamento: é padrão na teoria de linha de sustentação usar a mudança de variável
com
variando de
(raiz) a
(outra raiz). Isso torna conveniente trabalhar com funções trigonométricas que aparecem naturalmente para asas com planta elíptica.
Para uma planta elíptica a corda varia ao longo da envergadura segundo
Troca para a variável
: como
, temos
Logo a corda em função de
é
Agora obtenho
em função da área
. A área da asa é
Faço a mudança
(assim
e
varia de
a
):
A integral
(área de meia circunferência de raio 1). Portanto
Isolando
obtemos
Passo 3
Determinação do ângulo de ataque efetivo local gerado pela rotação.
Intuição física: a asa está em um escoamento axial
e, por girar em torno do eixo do túnel, cada seção situada a uma distância
do eixo tem velocidade transversal (perpendicular a
) igual a
. Para
pequeno, a inclinação local vista pela seção (ângulo de ataque efetivo) é pequena e pode ser aproximada por
Em termos de
,
Explicação: para pequenas velocidades transversais em relação a
o ângulo é simplesmente a razão entre a componente transversal e a componente axial.
Passo 4
Relação entre circulação, coeficiente de sustentação seccional e corda (teoria do aerofólio delgado e teorema de Kutta–Joukowski).
Teoria do aerofólio delgado diz que para ângulos pequenos o coeficiente de sustentação por unidade de corda é
onde
é o ângulo de ataque (em radianos). Explicando variáveis:
é a força de sustentação por unidade de área dividida por
.
A sustentação por unidade de envergadura (força por comprimento) é dada por duas formas equivalentes:
- pela teoria das seções:
, - pela lei de Kutta–Joukowski:
(onde é a circulação local).
Igualando-as:
Cancelando
e usando
dá
Aqui
é a corda local
e
é
do Passo 3.
Passo 5
Substituição das expressões de
e
na fórmula de
e simplificação.
Substituo
e
em
Obtenho
O
cancela:
Usando a identidade trigonométrica
resulta
Isso mostra imediatamente a forma solicitada
, com
Passo 6
Expressão de
em termos da área
(e
).
Agora substituo
(do Passo 2) em
Fazendo a substituição:
Simplificando (os fatores
,
e
cancelam corretamente):
Interpretação física simples: a amplitude da circulação ao longo da envergadura cresce com a área da asa (mais área → maior capacidade de gerar circulação por unidade de rotação) e é proporcional à velocidade angular
. Note que a velocidade do túnel
desapareceu da expressão final por cancelamentos entre a lei de sustentação 2D e a lei de Kutta–Joukowski.