Exercício - Houghton 5.8 (5
ed.)
Uma asa reta, sem torção, tem forma elíptica e é instalada simetricamente em um túnel de vento com sua linha central alinhada com o eixo do túnel. Se a velocidade axial do túnel é U_{\infty} e a asa gira em torno do eixo do túnel com uma pequena velocidade angular \omega, mostre que a circulação ao longo da envergadura é dada por
\Gamma=A_{2} \operatorname{sen}(2 \theta)
e determine \mathrm{A}_{2} em função de \omega e dos parâmetros geométricos da asa. (Despreze as correções do túnel de vento)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Mostrar que a circulação ao longo da envergadura pode ser escrita na forma \Gamma = A_{2}\sin(2\theta).
  2. Determinar o coeficiente A_{2} em função da velocidade angular \omega e dos parâmetros geométricos da asa (área e envergadura), desprezando correções do túnel de vento.
Informações dadas e hipóteses que vou usar (tudo fornecido ou natural para a situação):
  • A asa é reta, sem torção, de planta elíptica e instalada simetricamente no túnel; a linha central da asa está alinhada com o eixo do túnel.
  • A velocidade axial do túnel é \;U_{\infty}\;.
  • A asa gira em torno do eixo do túnel com pequena velocidade angular \;\omega\; (pequeno \omega → pequenas inclinações locais).
  • Desprezam-se efeitos do túnel (paredes, correções de imagem etc).
  • Vou trabalhar com a hipótese de aerofólio delgado (teoria de aerofólio fino) — isto permite usar c_\ell \approx 2\pi\alpha para ângulos pequenos e a relação de Kutta–Joukowski L' = \rho U_{\infty}\Gamma por unidade de envergadura.
  • Notação geométrica: envergadura total \;b\;, semi-envergadura \;s=b/2\;, área da asa \;S\;. Vou parametrizar a posição ao longo da semi-envergadura por um ângulo \theta com a transformação usual y = s\cos\theta, \theta\in[0,\pi].

Passo 2

Mapeamento da coordenada spanwise e distribuição de corda da asa elíptica.
Explicação didática do mapeamento: é padrão na teoria de linha de sustentação usar a mudança de variável
y = s\cos\theta,\quad s=\frac{b}{2},
com \theta variando de 0 (raiz) a \pi (outra raiz). Isso torna conveniente trabalhar com funções trigonométricas que aparecem naturalmente para asas com planta elíptica.
Para uma planta elíptica a corda varia ao longo da envergadura segundo
c(y)=c_{0}\sqrt{1-\left(\frac{2y}{b}\right)^{2}}.
Troca para a variável \theta: como y=s\cos\theta=(b/2)\cos\theta, temos
\sqrt{1-\left(\frac{2y}{b}\right)^{2}}=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}=\sin\theta.
Logo a corda em função de \theta é
c(\theta)=c_{0}\sin\theta.
Agora obtenho c_{0} em função da área S. A área da asa é
S=\int_{-s}^{s} c(y)\,dy = c_{0}\int_{-s}^{s}\sqrt{1-\left(\frac{2y}{b}\right)^{2}}\,dy.
Faço a mudança t=\dfrac{2y}{b} (assim dy=\dfrac{b}{2}dt e t varia de -1 a 1):
S = c_{0}\,\frac{b}{2}\int_{-1}^{1}\sqrt{1-t^{2}}\,dt.
A integral \int_{-1}^{1}\sqrt{1-t^{2}}\,dt=\dfrac{\pi}{2} (área de meia circunferência de raio 1). Portanto
S = c_{0}\,\frac{b}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = c_{0}\,\frac{\pi b}{4}.
Isolando c_{0} obtemos
c_{0}=\frac{4S}{\pi b}.

Passo 3

Determinação do ângulo de ataque efetivo local gerado pela rotação.
Intuição física: a asa está em um escoamento axial U_{\infty} e, por girar em torno do eixo do túnel, cada seção situada a uma distância y do eixo tem velocidade transversal (perpendicular a U_{\infty}) igual a \omega y. Para \omega pequeno, a inclinação local vista pela seção (ângulo de ataque efetivo) é pequena e pode ser aproximada por
\alpha(y) \approx \frac{\omega y}{U_{\infty}}.
Em termos de \theta,
\alpha(\theta) \approx \frac{\omega\,y}{U_{\infty}} = \frac{\omega\,s\cos\theta}{U_{\infty}} = \frac{\omega\,b}{2U_{\infty}}\cos\theta.
Explicação: para pequenas velocidades transversais em relação a U_{\infty} o ângulo é simplesmente a razão entre a componente transversal e a componente axial.

Passo 4

Relação entre circulação, coeficiente de sustentação seccional e corda (teoria do aerofólio delgado e teorema de Kutta–Joukowski).
Teoria do aerofólio delgado diz que para ângulos pequenos o coeficiente de sustentação por unidade de corda é
c_{\ell} \approx 2\pi \alpha,
onde \alpha é o ângulo de ataque (em radianos). Explicando variáveis: c_{\ell} é a força de sustentação por unidade de área dividida por \tfrac{1}{2}\rho U_{\infty}^{2}.
A sustentação por unidade de envergadura (força por comprimento) é dada por duas formas equivalentes:
  • pela teoria das seções: \;L' = \tfrac{1}{2}\rho U_{\infty}^{2} c\, c_{\ell}\;,
  • pela lei de Kutta–Joukowski: \;L' = \rho U_{\infty}\Gamma\; (onde \Gamma é a circulação local).
Igualando-as:
\rho U_{\infty}\Gamma = \tfrac{1}{2}\rho U_{\infty}^{2} c\, c_{\ell}.
Cancelando \rho U_{\infty} e usando c_{\ell}=2\pi\alpha
\Gamma = U_{\infty}\,\pi\,c\,\alpha.
Aqui c é a corda local c(\theta) e \alpha é \alpha(\theta) do Passo 3.

Passo 5

Substituição das expressões de c(\theta) e \alpha(\theta) na fórmula de \Gamma e simplificação.
Substituo c(\theta)=c_{0}\sin\theta e \alpha(\theta)=\dfrac{\omega b}{2U_{\infty}}\cos\theta em
\Gamma(\theta)=U_{\infty}\pi c(\theta)\alpha(\theta).
Obtenho
\Gamma(\theta) = U_{\infty}\pi \big(c_{0}\sin\theta\big)\left(\frac{\omega b}{2U_{\infty}}\cos\theta\right).
O U_{\infty} cancela:
\Gamma(\theta) = \pi c_{0}\frac{\omega b}{2}\sin\theta\cos\theta.
Usando a identidade trigonométrica \sin\theta\cos\theta = \tfrac{1}{2}\sin(2\theta) resulta
\Gamma(\theta) = \frac{\pi c_{0}\omega b}{4}\,\sin(2\theta).
Isso mostra imediatamente a forma solicitada \Gamma = A_{2}\sin(2\theta), com
A_{2} = \frac{\pi c_{0}\omega b}{4}.

Passo 6

Expressão de A_{2} em termos da área S (e \omega).
Agora substituo c_{0}=\dfrac{4S}{\pi b} (do Passo 2) em
A_{2} = \frac{\pi c_{0}\omega b}{4}.
Fazendo a substituição:
A_{2} = \frac{\pi}{4}\left(\frac{4S}{\pi b}\right)\omega b.
Simplificando (os fatores \pi, 4 e b cancelam corretamente):
A_{2} = S\,\omega.
Interpretação física simples: a amplitude da circulação ao longo da envergadura cresce com a área da asa (mais área → maior capacidade de gerar circulação por unidade de rotação) e é proporcional à velocidade angular \omega. Note que a velocidade do túnel U_{\infty} desapareceu da expressão final por cancelamentos entre a lei de sustentação 2D e a lei de Kutta–Joukowski.

Resposta

\Gamma(\theta)=S\,\omega\,\sin(2\theta)\n
A_{2}=S\,\omega

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