Reatores com Escoamento Pistonado (PFR) - Exemplo

Seja a reação de primeira ordem \left(-r_{A}=k C_{A}\right) :
A \rightarrow B
Deduza uma equação relacionando o volume do reator às concentraçōes de A entrando e salndo, à constante de velocidade k, e à vazáo volumétrica v.

Passo 1

O enunciado pede: deduzir uma equação que relaciona o volume do reator às concentrações de A entrando e saindo, à constante de velocidade k e à vazão volumétrica v.\n
Informações dadas:
\text{Reação: } A \rightarrow Bçã
\text{Lei de velocidade: } -r_{A} = k C_{A}
As quantidades que devemos envolver na equação final são: a concentração de A na entrada (vou chamar de C_{A0}), a concentração de A na saída (vou chamar de C_{A}), a constante k e a vazão volumétrica v.\n
Observação importante (apenas listando dados do enunciado): a expressão fornecida relaciona a velocidade de reação com a concentração de A e é de primeira ordem.

Passo 2

Monte o balanço de mols diferencial para um elemento do reator (balanço molar baseado em um volume infinitesimal dV). Em regime estacionário (sem acumulação), para o componente A vale:
\text{entrada} - \text{saída} + \text{geração} = 0.íçã
Se F_{A} é o fluxo molar de A (mol/tempo), considerando um elemento de volume dV temos:
F_{A} - (F_{A}+dF_{A}) + r_{A}\,dV = 0,
o que simplifica para a forma diferencial clássica
\frac{dF_{A}}{dV} = r_{A}.
Aqui r_{A} é a taxa volumétrica de produção de A (mol/volume·tempo). Note que, como A é consumido, r_{A} será negativo.

Passo 3

Expresse o fluxo molar F_{A} em termos da concentração e da vazão volumétrica. Assumimos vazão volumétrica constante v (válido para líquido incompressível ou densidade constante), então:
F_{A} = v\,C_{A}.
Substituindo em \dfrac{dF_{A}}{dV}=r_{A} obtemos
\frac{d(v C_{A})}{dV} = r_{A}.
Como v é constante, podemos tirar v para fora da derivada:
v\,\frac{dC_{A}}{dV} = r_{A}.

Passo 4

Use a lei de velocidade fornecida para relacionar r_{A} com C_{A}. O enunciado dá -r_{A} = k C_{A}. Isso implica que
r_{A} = -k\,C_{A}.
Substituindo em v\,\dfrac{dC_{A}}{dV} = r_{A} resulta na equação diferencial:
v\,\frac{dC_{A}}{dV} = -k\,C_{A}.

Passo 5

Separe variáveis para integrar. Colocando todos os termos em C_{A} de um lado e os termos em V do outro:
\frac{dC_{A}}{C_{A}} = -\frac{k}{v}\,dV.
Esta é uma equação separável e pronta para integração.

Passo 6

Integre ambos os lados entre os limites apropriados: quando V=0 a concentração é a de entrada \,C_{A0}\, e quando V=V (volume total do reator) a concentração é a de saída \,C_{A}\,. Assim
\int_{C_{A0}}^{C_{A}} \frac{dC_{A}}{C_{A}} = -\frac{k}{v} \int_{0}^{V} dV.
Calcule as integrais:
\ln\!\left(\frac{C_{A}}{C_{A0}}\right) = -\frac{k}{v}\,V.

Passo 7

Isole V para obter a expressão do volume do reator em função das concentrações de entrada e saída, de k e de v. Pegando exponencial ou rearranjando:
V = \frac{v}{k}\,\ln\!\left(\frac{C_{A0}}{C_{A}}\right).
Interpretação rápida: como C_{A}<C_{A0} quando há consumo, o argumento do log é maior que 1 e V fica positivo. Verificação de unidades: \dfrac{v}{k} tem unidades de volume (v: volume/tempo; k: 1/tempo), logo dá volume como esperado.

Passo 8

Forma alternativa em termos de conversão \,X=\;1-\dfrac{C_{A}}{C_{A0}}\,: substituindo \dfrac{C_{A}}{C_{A0}}=1-X obtemos
V = \frac{v}{k}\,\ln\!\left(\frac{1}{1-X}\right).
Isso é útil se o exercício pedir volume em função da conversão desejada.\n
Força aí — se quiser eu faço um exemplo numérico rápido pra você ver como aplicar a fórmula na prática.

Resposta

V = \frac{v}{k}\,\ln\!\left(\frac{C_{A0}}{C_{A}}\right)

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