Durante um experimento em batelada com Bacillus subtilis, obtiveram-se as seguintes concentrações de substrato e taxas de crescimento específicas:
\mathrm{S}(\mathrm{g} / \mathrm{L}): 0,2|0,5| 1,0|2,0| 4,0 \mid 6,0
\mu\left(\mathrm{h}^{-1}\right): 0,08|0,15| 0,25|0,38| 0,48 \mid 0,50
Determine os parâmetros \mu máx e Ks da equação de Monod por ajuste gráfico ou analítico.

Passo 1

O problema pede: determinar os parâmetros \mu_{\max} e K_S da equação de Monod a partir dos dados experimentais fornecidos. Dados fornecidos (concentração de substrato e taxa de crescimento específica):
\begin{array}{l} S\;(\mathrm{g}/\mathrm{L}):\;0{,}2,\;0{,}5,\;1{,}0,\;2{,}0,\;4{,}0,\;6{,}0 \\[4pt] \mu\;(\mathrm{h}^{-1}):\;0{,}08,\;0{,}15,\;0{,}25,\;0{,}38,\;0{,}48,\;0{,}50 \end{array}
Pergunta direta: achar \mu_{\max} e K_S que melhor ajustam esses dados à equação de Monod.]

Passo 2

Apresentando a equação de Monod e sua linearização (aula rápida):
A equação de Monod relaciona taxa de crescimento específica \mu com a concentração de substrato S:
\mu = \mu_{\max}\frac{S}{K_S + S}.
Aqui:
  • \mu é a taxa específica observada ( \mathrm{h}^{-1}),
  • \mu_{\max} é a taxa máxima específica ( \mathrm{h}^{-1}),
  • K_S é a constante de saturação (mesma unidade de S, aqui \mathrm{g}/\mathrm{L}),
  • S é a concentração de substrato ( \mathrm{g}/\mathrm{L}).
Para estimar \mu_{\max} e K_S por regressão linear, podemos usar a forma recíproca (analogia com Lineweaver–Burk):
\frac{1}{\mu} = \frac{K_S}{\mu_{\max}}\cdot\frac{1}{S} + \frac{1}{\mu_{\max}}.
Nesta forma, definimos x=\dfrac{1}{S} e y=\dfrac{1}{\mu}. Então temos uma reta
y = a x + b,
com a=\dfrac{K_S}{\mu_{\max}} e b=\dfrac{1}{\mu_{\max}}. Assim, obtendo-se a reta por mínimos quadrados, extraímos b e a e daí \mu_{\max}=1/b e K_S=a\cdot\mu_{\max}.

Passo 3

Escolha do método: uso a linearização dupla recíproca (Lineweaver–Burk) por ser direta e didática (facilita mostrar passo a passo como extrair a e b). Existem outras linearizações (Eadie–Hofstee, Hanes–Woolf) mais robustas em alguns casos, mas a dupla recíproca é suficiente aqui e simples de aplicar manualmente.

Passo 4

Calculemos os recíprocos \dfrac{1}{S} e \dfrac{1}{\mu} para cada par de dados (vou apresentar cada par):
\begin{array}{cccc} S & \mu & x=\dfrac{1}{S}\;(\mathrm{L}/\mathrm{g}) & y=\dfrac{1}{\mu}\;(\mathrm{h})\\[4pt] 0{,}2 & 0{,}08 & 5{,}000000000 & 12{,}50000000\\[4pt] 0{,}5 & 0{,}15 & 2{,}000000000 & 6{,}666666667\\[4pt] 1{,}0 & 0{,}25 & 1{,}000000000 & 4{,}000000000\\[4pt] 2{,}0 & 0{,}38 & 0{,}500000000 & 2{,}631578947\\[4pt] 4{,}0 & 0{,}48 & 0{,}250000000 & 2{,}083333333\\[4pt] 6{,}0 & 0{,}50 & 0{,}166666667 & 2{,}000000000 \end{array}]

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula de regressão linear por mínimos quadrados para obter a (inclinação) e b (intercepto). Fórmulas:
a = \frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{n\sum x^2 - (\sum x)^2},\qquad b = \frac{\sum y - a\sum x}{n},
onde n=6. Precisamos dos somatórios \sum x,\sum y,\sum xy,\sum x^2. Calculamos numericamente (usando os valores do Passo 4):
\begin{aligned} \sum x &= 5 + 2 + 1 + 0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}166666667 = 8{,}916666667,\\[4pt] \sum y &= 12{,}5 + 6{,}666666667 + 4 + 2{,}631578947 + 2{,}083333333 + 2 = 29{,}88157895,\\[4pt] \sum xy &= 5\cdot12{,}5 + 2\cdot6{,}666666667 + 1\cdot4 + 0{,}5\cdot2{,}631578947 + 0{,}25\cdot2{,}083333333 + 0{,}166666667\cdot2\\\ &= 62{,}5 + 13{,}333333334 + 4 + 1{,}315789474 + 0{,}52083333325 + 0{,}333333334 \\\ &= 82{,}00328947625,\\[4pt] \sum x^2 &= 5^2 + 2^2 + 1^2 + 0{,}5^2 + 0{,}25^2 + 0{,}166666667^2\\\ &=25 + 4 + 1 + 0{,}25 + 0{,}0625 + 0{,}0277777778 = 30{,}3402777778. \end{aligned}]

Passo 6

Calculemos a e b substituindo os somatórios:
\begin{aligned} \text{Numerador de }a &= n\sum xy - (\sum x)(\sum y) \\\ &= 6\cdot 82{,}00328947625 - 8{,}916666667\cdot 29{,}88157895 \\\ &= 492{,}0197368575 - 266{,}44407897 = 225{,}5756578875,\\[6pt] \text{Denominador de }a &= n\sum x^2 - (\sum x)^2 \\\ &= 6\cdot 30{,}3402777778 - (8{,}916666667)^2 \\\ &= 182{,}0416666668 - 79{,}5069444444 = 102{,}5347222224. \end{aligned}
Portanto
a = \frac{225{,}5756578875}{102{,}5347222224} \approx 2{,}20.
Agora o intercepto:
b = \frac{\sum y - a\sum x}{n} = \frac{29{,}88157895 - 2{,}199994\cdot 8{,}916666667}{6} \approx 1{,}71082763.
(na prática o produto a\sum x foi calculado com a a obtida acima; valores foram arredondados ao apresentar, mantendo consistência)]

Passo 7

Recupere os parâmetros originais de Monod:
\mu_{\max} = \frac{1}{b},\qquad K_S = a\cdot \mu_{\max}.
Com b\approx 1{,}71082763 e a\approx 2{,}199994:
\begin{aligned} \mu_{\max} &\approx \frac{1}{1{,}71082763} \approx 0{,}585\\ \mathrm{h}^{-1},\\[4pt] K_S &\approx 2{,}199994 \times 0{,}585 \approx 1{,}29\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}. \end{aligned}
Como verificação rápida, usando esses parâmetros na equação de Monod para S=6{,}0:
\mu = 0{,}585\cdot\frac{6}{1{,}29+6}\approx 0{,}48\text{–}0{,}49,
o que fica próximo do valor experimental \mu=0{,}50, indicando consistência razoável do ajuste linear.]

Resposta

\mu_{\max} \approx 0{,}585\\ \mathrm{h}^{-1}
K_S \approx 1{,}29\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}

Exercícios relacionados