Durante um experimento em batelada com Bacillus subtilis, obtiveram-se as seguintes concentrações de substrato e taxas de crescimento específicas:
Determine os parâmetros
máx e Ks da equação de Monod por ajuste gráfico ou analítico.
Passo 1
O problema pede: determinar os parâmetros
e
da equação de Monod a partir dos dados experimentais fornecidos. Dados fornecidos (concentração de substrato e taxa de crescimento específica):
Pergunta direta: achar
e
que melhor ajustam esses dados à equação de Monod.]
Passo 2
Apresentando a equação de Monod e sua linearização (aula rápida):
A equação de Monod relaciona taxa de crescimento específica com a concentração de substrato
:
A equação de Monod relaciona taxa de crescimento específica
Aqui:
-
é a taxa específica observada ( ), -
é a taxa máxima específica ( ), -
é a constante de saturação (mesma unidade de , aqui ), -
é a concentração de substrato ( ).
Para estimar
e
por regressão linear, podemos usar a forma recíproca (analogia com Lineweaver–Burk):
Nesta forma, definimos
e
. Então temos uma reta
com
e
. Assim, obtendo-se a reta por mínimos quadrados, extraímos
e
e daí
e
.
Passo 3
Escolha do método: uso a linearização dupla recíproca (Lineweaver–Burk) por ser direta e didática (facilita mostrar passo a passo como extrair
e
). Existem outras linearizações (Eadie–Hofstee, Hanes–Woolf) mais robustas em alguns casos, mas a dupla recíproca é suficiente aqui e simples de aplicar manualmente.
Passo 4
Calculemos os recíprocos
e
para cada par de dados (vou apresentar cada par):
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula de regressão linear por mínimos quadrados para obter
(inclinação) e
(intercepto). Fórmulas:
onde
. Precisamos dos somatórios
. Calculamos numericamente (usando os valores do Passo 4):
Passo 6
Calculemos
e
substituindo os somatórios:
Portanto
Agora o intercepto:
(na prática o produto
foi calculado com a
obtida acima; valores foram arredondados ao apresentar, mantendo consistência)]
Passo 7
Recupere os parâmetros originais de Monod:
Com
e
:
Como verificação rápida, usando esses parâmetros na equação de Monod para
:
o que fica próximo do valor experimental
, indicando consistência razoável do ajuste linear.]