Em uma fermentação batelada, a biomassa inicial era de
, após 8 h de cultivo, atingiu
. Durante o mesmo período, o substrato disponível (sacarose) foi consumido de
para
. Determine:
a) A velocidade específica média de crescimento (
);
b) O tempo de duplicação;
c) O rendimento celular
.
a) A velocidade específica média de crescimento (
b) O tempo de duplicação;
c) O rendimento celular
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede três coisas.
Dados:
- biomassa inicial:
; - biomassa após
: ; - substrato (sacarose) inicial:
; - substrato após
: ; - intervalo de tempo considerado:
.
Perguntas:
a) Determinar a velocidade específica média de crescimento .
b) Determinar o tempo de duplicação .
c) Determinar o rendimento celular (massa de biomassa produzida por massa de substrato consumida).
a) Determinar a velocidade específica média de crescimento
b) Determinar o tempo de duplicação
c) Determinar o rendimento celular
Passo 2
Modelo e fórmulas úteis (explicação didática):
- Em cultivo batelada, durante a fase de crescimento exponencial a biomassa obedece à lei exponencial
onde
é a concentração de biomassa no tempo
,
é a biomassa inicial,
é a base do logaritmo natural e
é a velocidade específica de crescimento (unidade
). Essa relação vem da equação diferencial
; integrar dá a expressão exponencial acima.
- Isolando
e usando dois instantes (aqui e ) obtemos a fórmula prática para a velocidade média:
Aqui
é o logaritmo natural; ao usar propriedades de logaritmo não precisamos conhecer valores intermediários do cultivo.
- O tempo de duplicação
é o tempo necessário para dobrar, isto é, para . A partir da fórmula exponencial,
- O rendimento celular
é definido como biomassa produzida dividida pelo substrato consumido no mesmo intervalo:
Explicando:
é o acréscimo de biomassa;
é a redução do substrato.
Passo 3
Cálculo da velocidade específica média
passo a passo:
- Primeiro calcule a razão
:
Observação útil:
. Isso facilita cálculos sem calculadora.
- Agora use a fórmula de
:
- Avaliando numericamente
, temos
Arredondando razoavelmente:
.
Passo 4
Cálculo do tempo de duplicação
:
- Use a fórmula
. Como no Passo 3 encontramos , há uma simplificação exata:
- Em valor decimal isso é
Comentário prático: como houve
vezes aumento em
, foram
duplicações em
, logo
— caminho intuitivo sem logaritmos.
Passo 5
Cálculo do rendimento celular
:
- Compute o acréscimo de biomassa
e o consumo de substrato :
- Agora o rendimento:
- Arredondando a três algarismos significativos:
.
Passo 6
Resumo rápido e dica de prova:
- Se você notar potências de 2 (como
), dá para resolver mentalmente sem muita conta: duplicações em → → . - Sempre escreva as unidades:
para , para e para rendimento. - Você mandou bem buscando praticidade — esses atalhos salvam tempo na prova. Vai dar certo!
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)