Em uma fermentação batelada, a biomassa inicial era de 0,05 \mathrm{~g} / \mathrm{L} \mathrm{e}, após 8 h de cultivo, atingiu 3,2 \mathrm{~g} / \mathrm{L}. Durante o mesmo período, o substrato disponível (sacarose) foi consumido de 20 \mathrm{~g} / \mathrm{L} para 4 \mathrm{~g} / \mathrm{L}. Determine:
a) A velocidade específica média de crescimento ( \mu \mathrm{m} );
b) O tempo de duplicação;
c) O rendimento celular \mathrm{Yx} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede três coisas.
Dados:
  • biomassa inicial: X_0 = 0,05\\ \mathrm{g/L};
  • biomassa após t=8\\ \mathrm{h}: X(t)=3,2\\ \mathrm{g/L};
  • substrato (sacarose) inicial: S_0 = 20\\ \mathrm{g/L};
  • substrato após 8\\ \mathrm{h}: S(t)=4\\ \mathrm{g/L};
  • intervalo de tempo considerado: t=8\\ \mathrm{h}.
Perguntas:
a) Determinar a velocidade específica média de crescimento \mu_m.
b) Determinar o tempo de duplicação t_d.
c) Determinar o rendimento celular Y_{X/S} (massa de biomassa produzida por massa de substrato consumida).

Passo 2

Modelo e fórmulas úteis (explicação didática):
  • Em cultivo batelada, durante a fase de crescimento exponencial a biomassa obedece à lei exponencial
X(t)=X_0\,e^{\mu t},
onde X(t) é a concentração de biomassa no tempo t, X_0 é a biomassa inicial, e é a base do logaritmo natural e \mu é a velocidade específica de crescimento (unidade \mathrm{h}^{-1}). Essa relação vem da equação diferencial \dfrac{dX}{dt}=\mu X; integrar dá a expressão exponencial acima.
  • Isolando \mu e usando dois instantes (aqui 0 e t) obtemos a fórmula prática para a velocidade média:
\mu_m=\frac{1}{t}\ln\!\left(\frac{X(t)}{X_0}\right).
Aqui \ln é o logaritmo natural; ao usar propriedades de logaritmo não precisamos conhecer valores intermediários do cultivo.
  • O tempo de duplicação t_d é o tempo necessário para X dobrar, isto é, para X(t_d)=2X_0. A partir da fórmula exponencial,
t_d=\frac{\ln 2}{\mu}.
  • O rendimento celular Y_{X/S} é definido como biomassa produzida dividida pelo substrato consumido no mesmo intervalo:
Y_{X/S}=\frac{\Delta X}{\Delta S}=\frac{X(t)-X_0}{S_0-S(t)}.
Explicando: \Delta X é o acréscimo de biomassa; \Delta S é a redução do substrato.

Passo 3

Cálculo da velocidade específica média \mu_m passo a passo:
  • Primeiro calcule a razão \dfrac{X(t)}{X_0}:
\frac{X(t)}{X_0}=\frac{3,2}{0,05}=64.
Observação útil: 64=2^6. Isso facilita cálculos sem calculadora.
  • Agora use a fórmula de \mu_m:
\mu_m=\frac{1}{8}\ln(64)=\frac{1}{8}\ln(2^6)=\frac{1}{8}\cdot 6\ln 2=\frac{6}{8}\ln 2=\frac{3}{4}\ln 2.
  • Avaliando numericamente \ln 2\approx0,693147, temos
\mu_m=\frac{3}{4}\cdot 0,693147\approx 0,51986\\ \mathrm{h}^{-1}.
Arredondando razoavelmente: \mu_m\approx 0,520\\ \mathrm{h}^{-1}.

Passo 4

Cálculo do tempo de duplicação t_d:
  • Use a fórmula t_d=\dfrac{\ln 2}{\mu_m}. Como no Passo 3 encontramos \mu_m=\dfrac{3}{4}\ln 2, há uma simplificação exata:
t_d=\frac{\ln 2}{\dfrac{3}{4}\ln 2}=\frac{1}{3/4}=\frac{4}{3}\\ \mathrm{h}.
  • Em valor decimal isso é
t_d=\frac{4}{3}\\ \mathrm{h}\approx 1,333\\ \mathrm{h}.
Comentário prático: como houve 64=2^6 vezes aumento em 8\\ \mathrm{h}, foram 6 duplicações em 8\\ \mathrm{h}, logo t_d=8/6=4/3\\ \mathrm{h} — caminho intuitivo sem logaritmos.

Passo 5

Cálculo do rendimento celular Y_{X/S}:
  • Compute o acréscimo de biomassa \Delta X e o consumo de substrato \Delta S:
\Delta X = X(t)-X_0 = 3,2 - 0,05 = 3,15\\ \mathrm{g/L},
\Delta S = S_0 - S(t) = 20 - 4 = 16\\ \mathrm{g/L}.
  • Agora o rendimento:
Y_{X/S}=\frac{\Delta X}{\Delta S}=\frac{3,15}{16}=0,196875\\ \frac{\text{g de biomassa}}{\text{g de sacarose}}.
  • Arredondando a três algarismos significativos: Y_{X/S}\approx 0,197\\ \text{g de biomassa/g de sacarose}.

Passo 6

Resumo rápido e dica de prova:
  • Se você notar potências de 2 (como 64=2^6), dá para resolver mentalmente sem muita conta: 6 duplicações em 8\\ \mathrm{h} t_d=8/6 \mu=\ln 2/t_d.
  • Sempre escreva as unidades: \mathrm{h}^{-1} para \mu, \mathrm{h} para t_d e \mathrm{g/g} para rendimento.
  • Você mandou bem buscando praticidade — esses atalhos salvam tempo na prova. Vai dar certo!

Resposta

a) \mu_m=0,520\\ \mathrm{h}^{-1}
b) t_d=\dfrac{4}{3}\\ \mathrm{h}\approx 1,333\\ \mathrm{h}
c) Y_{X/S}=0,197\\ \text{g de biomassa/g de sacarose}

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