Recall that \operatorname{cosh} b t=\left(e^{b t}+e^{-b t}\right) / 2 and \operatorname{sinh} b t=\left(e^{b t}-e^{-b t}\right) / 2. In each of Problems 7 through 10 find the Laplace transform of the given function; a and b are real constants.
\operatorname{cosh} b t

Passo 1

O enunciado dá a função hiperbólica
\operatorname{cosh} b t=\frac{e^{b t}+e^{-b t}}{2},
com b constante real, e pede para encontrar a transformada de Laplace dessa função. Vou listar o que temos e o que é pedido:
  • Dado: \operatorname{cosh} b t=\dfrac{e^{b t}+e^{-b t}}{2}.
  • Pedido: calcular \mathcal{L}\{\operatorname{cosh} b t\}(s), isto é, a transformada de Laplace em função de s, e indicar a região de convergência.

Passo 2

Definição útil (o que é a transformada de Laplace): para uma função f(t) de variável t\ge0,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
quando essa integral converge. É importante lembrar que a convergência depende da parte real de s.

Passo 3

Usarei a expressão dada para \operatorname{cosh} b t. Reescrevendo:
\operatorname{cosh} b t=\frac{1}{2}e^{b t}+\frac{1}{2}e^{-b t}.
Essa escrita mostra \operatorname{cosh} b t como combinação linear de exponenciais, o que facilita usar linearidade da transformada de Laplace.

Passo 4

Lembração básica: a transformada de Laplace de uma exponencial e^{\alpha t} (com \alpha complexo) é obtida integrando:
\mathcal{L}\{e^{\alpha t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{\alpha t}\,dt =\int_{0}^{\infty} e^{-(s-\alpha)t}\,dt.
Essa integral é do tipo \int_{0}^{\infty} e^{-c t}\,dt, que vale 1/c desde que \operatorname{Re}\text{(c)}>0. Aqui c=s-\alpha, logo, quando \operatorname{Re}(s-\alpha)>0 (ou seja \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(\alpha)),
\mathcal{L}\{e^{\alpha t}\}(s)=\frac{1}{s-\alpha}.

Passo 5

Aplicando linearidade (a transformada da soma é a soma das transformadas e constantes saem da integral) à expressão de \operatorname{cosh} b t:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh} b t\}(s)=\frac{1}{2}\mathcal{L}\{e^{b t}\}(s)+\frac{1}{2}\mathcal{L}\{e^{-b t}\}(s).
Pelo resultado do passo anterior,
\mathcal{L}\{e^{b t}\}(s)=\frac{1}{s-b}\quad\text{e}\quad \mathcal{L}\{e^{-b t}\}(s)=\frac{1}{s+b},
desde que \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(b) para o primeiro e \operatorname{Re}(s)>-\,\operatorname{Re}(b) para o segundo.

Passo 6

Substituindo essas expressões:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh} b t\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-b}+\frac{1}{s+b}\right).
Fazendo a soma das frações com denominador comum s^2-b^2:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-b}+\frac{1}{s+b}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{s+b+s-b}{s^2-b^2}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{2s}{s^2-b^2}\right) =\frac{s}{s^2-b^2}.

Passo 7

Região de convergência: para que ambas as transformadas \mathcal{L}\{e^{b t}\} e \mathcal{L}\{e^{-b t}\} existam simultaneamente, é preciso
\operatorname{Re}(s)>\max\{b,-b\}=\lvert b\rvert.
Portanto a expressão obtida é válida para \operatorname{Re}(s)>\lvert b\rvert.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\operatorname{cosh} b t\}(s)=\frac{s}{s^{2}-b^{2}},\quad \operatorname{Re}(s)>\lvert b\rvert

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