Recall that
and
. In each of Problems 7 through 10 find the Laplace transform of the given function;
and
are real constants.
Passo 1
O enunciado dá a função hiperbólica
com
constante real, e pede para encontrar a transformada de Laplace dessa função. Vou listar o que temos e o que é pedido:
- Dado:
. - Pedido: calcular
, isto é, a transformada de Laplace em função de , e indicar a região de convergência.
Passo 2
Definição útil (o que é a transformada de Laplace): para uma função
de variável
,
quando essa integral converge. É importante lembrar que a convergência depende da parte real de
.
Passo 3
Usarei a expressão dada para
. Reescrevendo:
Essa escrita mostra
como combinação linear de exponenciais, o que facilita usar linearidade da transformada de Laplace.
Passo 4
Lembração básica: a transformada de Laplace de uma exponencial
(com
complexo) é obtida integrando:
Essa integral é do tipo
, que vale
desde que
. Aqui
, logo, quando
(ou seja
),
Passo 5
Aplicando linearidade (a transformada da soma é a soma das transformadas e constantes saem da integral) à expressão de
:
Pelo resultado do passo anterior,
desde que
para o primeiro e
para o segundo.
Passo 6
Substituindo essas expressões:
Fazendo a soma das frações com denominador comum
:
Passo 7
Região de convergência: para que ambas as transformadas
e
existam simultaneamente, é preciso
Portanto a expressão obtida é válida para
.