Find the Laplace transform of each of the following functions:
Find the Laplace transform of f(t)=\cos a t, where a is a real constant.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função f(t)=\cos a t, onde a é uma constante real.
Informações dadas:
  • A função é f(t)=\cos a t.
  • A variável de transformação é s (complexa, em geral).
    O que se pede:
  • Calcular \mathcal{L}\{ \cos a t\}(s), isto é, avaliar a integral imprópria correspondente e indicar a região de convergência em termos de s.

Passo 2

Definição e ideia principal. A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
onde s é, em geral, um número complexo. Aqui vamos aplicar essa definição com f(t)=\cos a t. Antes de integrar, é importante saber que a integral impropria converge se a parte real de s for positiva, isto é, \operatorname{Re}(s)>0, porque e^{-st} fornece decaimento exponencial necessário para que a integral até infinito exista.

Passo 3

Escrevendo a integral que precisamos calcular. Denotamos
I(s)=\mathcal{L}\{\cos a t\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(a t)\,dt.
Nosso objetivo é avaliar essa integral em função de s e a, assumindo \operatorname{Re}(s)>0 para garantir convergência.

Passo 4

Aplicando integração por partes. Vou usar a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos u=\cos(a t) e dv=e^{-s t}dt. Então
du = -a\sin(a t)\,dt,\qquad v = -\frac{e^{-s t}}{s},
onde usamos que \int e^{-s t}dt = -\dfrac{e^{-s t}}{s} (válido para s\neq 0). Aplicando a fórmula,
I(s)=\left. u v \right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} v\,du = \left.\left(-\frac{e^{-s t}\cos(a t)}{s}\right)\right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \left(-\frac{e^{-s t}}{s}\right)\left(-a\sin(a t)\right)\,dt.
Simplificando sinais,
I(s) = -\lim_{T\to\infty}\frac{e^{-s T}\cos(a T)}{s} + \frac{1}{s}\cos(0) + \frac{a}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(a t)\,dt.
Como \cos(0)=1, isso fica
I(s) = -\lim_{T\to\infty}\frac{e^{-s T}\cos(a T)}{s} + \frac{1}{s} + \frac{a}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(a t)\,dt.

Passo 5

Avaliação do termo de fronteira. Para \operatorname{Re}(s)>0, temos e^{-s T}\to 0 quando T\to\infty. Como \cos(aT) é limitado em módulo por 1, o produto e^{-sT}\cos(aT)\to 0. Logo o limite do termo de fronteira é zero. Assim
I(s)=\frac{1}{s}+\frac{a}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(a t)\,dt.
Denotemos agora
J(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(a t)\,dt.
Teremos I(s)=\dfrac{1}{s}+\dfrac{a}{s}J(s). Agora precisamos encontrar J(s).

Passo 6

Calcular J(s) também por integração por partes. Use a mesma técnica com u=\sin(a t) e dv=e^{-s t}dt. Então
du = a\cos(a t)\,dt,\qquad v = -\frac{e^{-s t}}{s}.
Aplicando a fórmula,
J(s)=\left.\left(-\frac{e^{-s t}\sin(a t)}{s}\right)\right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\left(-\frac{e^{-s t}}{s}\right)\left(a\cos(a t)\right)\,dt.
O termo de fronteira novamente tende a zero por \operatorname{Re}(s)>0 (pois e^{-s t}\sin(a t) decai). Em t=0, \sin(0)=0 então não há contribuição. Assim
J(s)= -\frac{a}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(a t)\,dt.
Reconhecemos a integral que aparece: é exatamente I(s). Logo
J(s) = -\frac{a}{s} I(s).

Passo 7

Substituir J(s) na expressão de I(s) e resolver algebricamente. Lembrando que I(s)=\dfrac{1}{s}+\dfrac{a}{s}J(s), substituímos J(s)=-\dfrac{a}{s}I(s):
I(s)=\frac{1}{s}+\frac{a}{s}\left(-\frac{a}{s}I(s)\right)=\frac{1}{s}-\frac{a^{2}}{s^{2}}I(s).
Isolando I(s),
I(s)\left(1+\frac{a^{2}}{s^{2}}\right)=\frac{1}{s}.
Colocando em denominador comum,
I(s)\cdot\frac{s^{2}+a^{2}}{s^{2}}=\frac{1}{s}.
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{s^{2}}{s^{2}+a^{2}},
I(s)=\frac{s^{2}}{s^{2}+a^{2}}\cdot\frac{1}{s}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 8

Condições de validade e comentário final. A derivação usou que \operatorname{Re}(s)>0 para justificar anular os termos de fronteira no infinito; portanto a transformada obtida é válida nessa região. Observe também o caso particular a=0: \cos 0t=1 e a fórmula dá \dfrac{s}{s^{2}+0}=\dfrac{1}{s}, que é a transformada de 1, então está consistente.

Resposta

\mathcal{L}\{\cos a t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad \operatorname{Re}(s)>0

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