onde s é, em geral, um número complexo. Aqui vamos aplicar essa definição com f(t)=\cos a t. Antes de integrar, é importante saber que a integral impropria converge se a parte real de s for positiva, isto é, \operatorname{Re}(s)>0, porque e^{-st} fornece decaimento exponencial necessário para que a integral até infinito exista.
Passo 3
Escrevendo a integral que precisamos calcular. Denotamos
I(s)=\mathcal{L}\{\cos a t\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(a t)\,dt.
Nosso objetivo é avaliar essa integral em função de s e a, assumindo \operatorname{Re}(s)>0 para garantir convergência.
Passo 4
Aplicando integração por partes. Vou usar a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos u=\cos(a t) e dv=e^{-s t}dt. Então
du = -a\sin(a t)\,dt,\qquad v = -\frac{e^{-s t}}{s},
onde usamos que \int e^{-s t}dt = -\dfrac{e^{-s t}}{s} (válido para s\neq 0). Aplicando a fórmula,
I(s)=\left. u v \right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} v\,du = \left.\left(-\frac{e^{-s t}\cos(a t)}{s}\right)\right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \left(-\frac{e^{-s t}}{s}\right)\left(-a\sin(a t)\right)\,dt.
Avaliação do termo de fronteira. Para \operatorname{Re}(s)>0, temos e^{-s T}\to 0 quando T\to\infty. Como \cos(aT) é limitado em módulo por 1, o produto e^{-sT}\cos(aT)\to 0. Logo o limite do termo de fronteira é zero. Assim
O termo de fronteira novamente tende a zero por \operatorname{Re}(s)>0 (pois e^{-s t}\sin(a t) decai). Em t=0, \sin(0)=0 então não há contribuição. Assim
Condições de validade e comentário final. A derivação usou que \operatorname{Re}(s)>0 para justificar anular os termos de fronteira no infinito; portanto a transformada obtida é válida nessa região. Observe também o caso particular a=0: \cos 0t=1 e a fórmula dá \dfrac{s}{s^{2}+0}=\dfrac{1}{s}, que é a transformada de 1, então está consistente.
Resposta
\mathcal{L}\{\cos a t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad \operatorname{Re}(s)>0