Recall that
and
. In each of Problems 7 through 10 find the Laplace transform of the given function;
and
are real constants.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a transformada de Laplace da função
, onde
é constante real. Também nos foi recordado que
A tarefa é encontrar
e indicar a região de convergência em
.
Passo 2
Definição e ideia que vamos usar. A transformada de Laplace de uma função
é
onde
pode ser complexo; a integral só converge para valores de
que fizerem o integrando decair suficientemente rápido (vamos explicitar essa condição mais adiante). Uma propriedade importante que usamos é a linearidade:
para constantes
.
Passo 3
Aplicando a identidade da hiperbólica e a linearidade:
Passo 4
Calcular
em geral. Pela definição,
Essa integral é uma integral exponencial simples. Se
então
Portanto
Passo 5
Aplicando isso aos nossos dois expoentes
e
:
A condição para ambas as transformadas existirem simultaneamente é a interseção das duas regiões:
e
, o que, como
é real, equivale a
Substituindo na expressão do Passo 3:
Passo 6
Simplificar a expressão racional. Colocando sobre denominador comum:
Mantendo a condição de convergência encontrada:
.
Passo 7
Comentário rápido de verificação (exemplo numérico): se
, a fórmula dá
válida para
. Isso bate com o cálculo direto via exponenciais.