Recall that \operatorname{cosh} b t=\left(e^{b t}+e^{-b t}\right) / 2 and \operatorname{sinh} b t=\left(e^{b t}-e^{-b t}\right) / 2. In each of Problems 7 through 10 find the Laplace transform of the given function; a and b are real constants.
\operatorname{sinh} b t

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a transformada de Laplace da função \operatorname{sinh} b t, onde b é constante real. Também nos foi recordado que
\operatorname{sinh} b t=\frac{e^{b t}-e^{-b t}}{2}.
A tarefa é encontrar \mathcal{L}\{\operatorname{sinh} b t\}(s) e indicar a região de convergência em s.

Passo 2

Definição e ideia que vamos usar. A transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t)\,dt,
onde s pode ser complexo; a integral só converge para valores de s que fizerem o integrando decair suficientemente rápido (vamos explicitar essa condição mais adiante). Uma propriedade importante que usamos é a linearidade:
\mathcal{L}\{A f(t)+B g(t)\}(s)=A\mathcal{L}\{f(t)\}(s)+B\mathcal{L}\{g(t)\}(s),
para constantes A,B.

Passo 3

Aplicando a identidade da hiperbólica e a linearidade:
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh} b t\}(s) =\mathcal{L}\!\left\{\frac{e^{b t}-e^{-b t}}{2}\right\}(s) =\frac{1}{2}\Big(\mathcal{L}\{e^{b t}\}(s)-\mathcal{L}\{e^{-b t}\}(s)\Big).

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{e^{a t}\}(s) em geral. Pela definição,
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}e^{a t}\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}\,dt.
Essa integral é uma integral exponencial simples. Se \operatorname{Re}(s-a)>0 então
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s-a)t}}{-(s-a)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s-a}.
Portanto
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\frac{1}{s-a},\qquad\text{válido quando }\operatorname{Re}(s)> \operatorname{Re}(a).á

Passo 5

Aplicando isso aos nossos dois expoentes a=b e a=-b:
\mathcal{L}\{e^{b t}\}(s)=\frac{1}{s-b},\quad\text{se }\operatorname{Re}(s)>b,
\mathcal{L}\{e^{-b t}\}(s)=\frac{1}{s+b},\quad\text{se }\operatorname{Re}(s)>-b.
A condição para ambas as transformadas existirem simultaneamente é a interseção das duas regiões: \operatorname{Re}(s)>b e \operatorname{Re}(s)>-b, o que, como b é real, equivale a
\operatorname{Re}(s)>|b|.
Substituindo na expressão do Passo 3:
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh} b t\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-b}-\frac{1}{s+b}\right),\qquad \operatorname{Re}(s)>|b|.

Passo 6

Simplificar a expressão racional. Colocando sobre denominador comum:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-b}-\frac{1}{s+b}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{(s+b)-(s-b)}{(s-b)(s+b)} =\frac{1}{2}\cdot\frac{2b}{s^{2}-b^{2}} =\frac{b}{s^{2}-b^{2}}.
Mantendo a condição de convergência encontrada: \operatorname{Re}(s)>|b|.

Passo 7

Comentário rápido de verificação (exemplo numérico): se b=3, a fórmula dá \mathcal{L}\{\operatorname{sinh} 3t\}(s)=\dfrac{3}{s^{2}-9} válida para \operatorname{Re}(s)>3. Isso bate com o cálculo direto via exponenciais.

Resposta

\mathcal{L}\{\operatorname{sinh} b t\}(s)=\frac{b}{s^{2}-b^{2}},\qquad \operatorname{Re}(s)>|b|.

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