Receita Marginal A gerência da Acrosonic planeja lançar no mercado o sistema ElectroStat, um sistema de caixas de som eletrostáticas. A divisão de marketing determinou que a demanda desses sistemas seja de
onde
denota o preço unitário (em dólares) do sistema e
denota a quantidade demandada.
a. Encontre a função receita
.
b. Determine a função receita marginal
.
c. Calcule
e interprete seus resultados.
a. Encontre a função receita
b. Determine a função receita marginal
c. Calcule
Passo 1
O enunciado e os dados que vamos usar (peguei tudo do enunciado):
- A função demanda é
onde é o preço unitário em dólares e é a quantidade demandada (número de sistemas). - O que o problema pede:
a. Encontrar a função receita.
b. Determinar a função receita marginal.
c. Calculare interpretar o resultado.
Passo 2
O que é receita e como montar a função receita. Aula rápida e prática: receita significa quanto dinheiro a empresa recebe — é preço por unidade vezes número de unidades vendidas. Assim, para cada quantidade
vendida, a receita
é
Agora substituímos
pela demanda dada. Temos
Vamos multiplicar termo a termo (explico passo a passo para você poder fazer igual na prova):
-
porque multiplica-se coeficiente por coeficiente e soma-se potências de ( ). -
.
Portanto, escrevendo o polinômio final:
Comentário didático: esse é um polinômio quadrático em
. O termo
mostra que, ao aumentar muito
, a receita cresce mais devagar e depois pode diminuir (porque o preço cai com
). O termo
é a contribuição linear.
Passo 3
O que é receita marginal e como calcular a derivada. Aula rápida de derivada (do jeitinho que você precisa na prova): a receita marginal
é a taxa de variação instantânea da receita quando alteramos a quantidade
. Em linguagem prática: quanto a receita muda (aproximadamente) se eu vender mais uma unidade quando já vendo
unidades. A unidade de
é “dólares por unidade vendida”.
Para calcular
usamos regras básicas de derivação:
- Regra do poder:
. - Constante multiplicativa sai na frente:
. - Derivada de
(onde é constante) é .
Aplicando termo a termo à função
:
Calcule cada derivada:
Somando:
Explicação intuitiva: conforme
cresce, o termo
vai diminuindo
; existe um ponto em que
(na prova pode ser útil:
dá
, ou seja, máxima receita ocorre aí), mas a exigência aqui é só achar
e interpretá-lo.
Passo 4
Calcular
e interpretar numericamente — passo a passo numérico sem pular etapas:
Substituímos em
:
Substituímos
Calcule o produto:
Some com
:
Logo
Interpretação didática e prática (como explicar na prova):
significa que, quando a empresa está vendendo cerca de
unidades, vender mais uma unidade (ou seja, aumentar
em 1) aumenta a receita total em aproximadamente
dólares. Em termos de aproximação linear, se aumentar as vendas em
unidades, a mudança aproximada na receita é
. Por exemplo, aumentar
unidades acrescentaria cerca de
dólares à receita.
Uma verificação numérica rápida (para ver que a aproximação é boa): calculando a receita exata em
e
,
a diferença exata é
, muito próxima de
. Isso confirma que a interpretação de
como “ganho aproximado por unidade extra” funciona bem.
Resposta
a)
b)
c)