Receita Marginal A gerência da Acrosonic planeja lançar no mercado o sistema ElectroStat, um sistema de caixas de som eletrostáticas. A divisão de marketing determinou que a demanda desses sistemas seja de
p=-0,04 x+800 \quad(0 \leq x \leq 20.000)
onde p denota o preço unitário (em dólares) do sistema e x denota a quantidade demandada.
a. Encontre a função receita R.
b. Determine a função receita marginal R^{\prime}.
c. Calcule R^{\prime}(5.000) e interprete seus resultados.

Passo 1

O enunciado e os dados que vamos usar (peguei tudo do enunciado):
  • A função demanda é p=-0,04x+800\qquad(0\le x\le20.000), onde \,p é o preço unitário em dólares e \,x é a quantidade demandada (número de sistemas).
  • O que o problema pede:
    a. Encontrar a função receita R.
    b. Determinar a função receita marginal R'.
    c. Calcular R'(5.000) e interpretar o resultado.

Passo 2

O que é receita e como montar a função receita. Aula rápida e prática: receita significa quanto dinheiro a empresa recebe — é preço por unidade vezes número de unidades vendidas. Assim, para cada quantidade x vendida, a receita R(x) é
R(x)=x\cdot p(x).
Agora substituímos p(x) pela demanda dada. Temos
R(x)=x\cdot\bigl(-0,04x+800\bigr).
Vamos multiplicar termo a termo (explico passo a passo para você poder fazer igual na prova):
  • x\cdot(-0,04x)=-0,04x^2 porque multiplica-se coeficiente por coeficiente e soma-se potências de x ( x\cdot x = x^2).
  • x\cdot 800 = 800x.
Portanto, escrevendo o polinômio final:
R(x)=-0,04x^2+800x.
Comentário didático: esse é um polinômio quadrático em x. O termo -0,04x^2 mostra que, ao aumentar muito x, a receita cresce mais devagar e depois pode diminuir (porque o preço cai com x). O termo 800x é a contribuição linear.

Passo 3

O que é receita marginal e como calcular a derivada. Aula rápida de derivada (do jeitinho que você precisa na prova): a receita marginal R'(x) é a taxa de variação instantânea da receita quando alteramos a quantidade x. Em linguagem prática: quanto a receita muda (aproximadamente) se eu vender mais uma unidade quando já vendo x unidades. A unidade de R'(x) é “dólares por unidade vendida”.
Para calcular R'(x) usamos regras básicas de derivação:
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^n = n x^{\,n-1}.
  • Constante multiplicativa sai na frente: \dfrac{d}{dx}(a\cdot f(x)) = a\cdot f'(x).
  • Derivada de ax (onde a é constante) é a.
Aplicando termo a termo à função R(x)=-0,04x^2+800x:
R'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-0,04x^2\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(800x\bigr).
Calcule cada derivada:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(-0,04x^2\bigr) = -0,04\cdot 2x = -0,08x.
  • \dfrac{d}{dx}(800x)=800.
Somando:
R'(x)=-0,08x+800.
Explicação intuitiva: conforme x cresce, o termo -0,08x vai diminuindo R'(x); existe um ponto em que R'(x)=0 (na prova pode ser útil: R'(x)=0 x=10.000, ou seja, máxima receita ocorre aí), mas a exigência aqui é só achar R'(x) e interpretá-lo.

Passo 4

Calcular R'(5.000) e interpretar numericamente — passo a passo numérico sem pular etapas:
Substituímos x=5.000 em R'(x)=-0,08x+800:
R'(5.000)=-0,08\cdot 5.000 + 800.
Calcule o produto:
-0,08\cdot 5.000 = -400.
Some com 800:
-400+800=400.
Logo
R'(5.000)=400.
Interpretação didática e prática (como explicar na prova): R'(5.000)=400 significa que, quando a empresa está vendendo cerca de 5.000 unidades, vender mais uma unidade (ou seja, aumentar x em 1) aumenta a receita total em aproximadamente 400 dólares. Em termos de aproximação linear, se aumentar as vendas em \Delta x unidades, a mudança aproximada na receita é \Delta R\approx R'(5.000)\,\Delta x. Por exemplo, aumentar 10 unidades acrescentaria cerca de 10\cdot 400=4.000 dólares à receita.
Uma verificação numérica rápida (para ver que a aproximação é boa): calculando a receita exata em 5.000 e 5.001,
R(5.000)=-0,04(5.000)^2+800(5.000)=3.000.000,
R(5.001)=-0,04(5.001)^2+800(5.001)=3.000.399{,}96,
a diferença exata é 399{,}96, muito próxima de 400. Isso confirma que a interpretação de R'(5.000)=400 como “ganho aproximado por unidade extra” funciona bem.

Resposta

a) R(x)=-0,04x^2+800x
b) R'(x)=-0,08x+800
c) R'(5.000)=400\\ \text{(dólares por unidade)}ó

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