Calcule a integral de linha do campo vetorial
entre os pontos
e
, percorrendo os dois caminhos indicados abaixo:
Caminho
: o segmento de reta que liga diretamente
a
.
Caminho
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo vetorial
entre os pontos
e
percorrendo o caminho
, que é o segmento de reta que liga diretamente
a
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função vetorial a integrar é
com e . - O caminho
é o segmento de reta de até . - A integral solicitada é a integral de linha
Passo 2
O que é uma integral de linha do tipo
e como calculá-la na prática?
- Definição prática: se um caminho
é dado por uma parametrização , variando de a , então
Aqui
e o produto escalar
é
.
- Parametrização do segmento de reta entre
e : a maneira mais direta é usar interpolação linear.
Uma parametrização simples é
pois para
temos
e para
temos
.
Passo 3
Aplicando a parametrização na fórmula:
- Derivada da parametrização:
- Avaliando o campo ao longo do caminho
:
- Produto escalar
:
- Portanto a integral de linha é
Calcule a integral:
Passo 4
Método alternativo (e muito útil na prova): verificar se
é conservativo — neste caso a integral depende só dos extremos.
-
Critério (sem jargões): para um campo
definido em uma região sem “buracos” (como todo ), se então tem uma potencial tal que . A integral entre dois pontos é então . -
Calcule as derivadas:
Como são iguais,
é conservativo (no plano todo).
- Ache uma função potencial
tal que . Integrando em :
onde
é uma “constante” em relação a
. Agora impõe-se
que deve ser igual a
; daí
, logo
é constante. Podemos escolher
(constante irrelevante).
- Aplicando o teorema fundamental para campos conservativos:
Observação final: por ser conservativo, o valor da integral entre
e
é o mesmo para qualquer caminho que una esses pontos — portanto se houvesse um segundo caminho indicado, a resposta seria a mesma.