Calcule a integral de linha do campo vetorial
\vec{F}(x, y)=(2 x y) \hat{i}+\left(x^{2}\right) \hat{j}
entre os pontos (0,0) e (1,1), percorrendo os dois caminhos indicados abaixo:
Caminho \vec{\alpha}_{1} : o segmento de reta que liga diretamente (0,0) a (1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo vetorial
\vec{F}(x,y)=(2xy)\,\hat{i}+(x^{2})\,\hat{j}
entre os pontos (0,0) e (1,1) percorrendo o caminho \vec{\alpha}_{1}, que é o segmento de reta que liga diretamente (0,0) a (1,1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função vetorial a integrar é \vec{F}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)) com P(x,y)=2xy e Q(x,y)=x^{2}.
  • O caminho \vec{\alpha}_{1} é o segmento de reta de (0,0) até (1,1).
  • A integral solicitada é a integral de linha
\int_{\vec{\alpha}_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

O que é uma integral de linha do tipo \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} e como calculá-la na prática?
  • Definição prática: se um caminho C é dado por uma parametrização \vec{r}(t)=(x(t),y(t)), t variando de a a b, então
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b} \vec{F}\big(x(t),y(t)\big)\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Aqui \vec{r}\,'(t)=(x'(t),y'(t)) e o produto escalar \vec{F}\cdot\vec{r}\,' é P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t).
  • Parametrização do segmento de reta entre (0,0) e (1,1): a maneira mais direta é usar interpolação linear.
    Uma parametrização simples é
\vec{r}(t)=(t,t),\qquad 0\le t\le 1,
pois para t=0 temos (0,0) e para t=1 temos (1,1).

Passo 3

Aplicando a parametrização na fórmula:
  • Derivada da parametrização:
\vec{r}\,'(t)=(1,1).
  • Avaliando o campo ao longo do caminho \vec{r}(t)=(t,t):
\vec{F}\big(x(t),y(t)\big)=\vec{F}(t,t)=\big(2\cdot t\cdot t,\; t^{2}\big)=(2t^{2},\,t^{2}).
  • Produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t):
(2t^{2},t^{2})\cdot(1,1)=2t^{2}+t^{2}=3t^{2}.
  • Portanto a integral de linha é
\int_{\vec{\alpha}_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{1} 3t^{2}\,dt.
Calcule a integral: \displaystyle \int_{0}^{1}3t^{2}\,dt=3\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\left[t^{3}\right]_{0}^{1}=1.

Passo 4

Método alternativo (e muito útil na prova): verificar se \vec{F} é conservativo — neste caso a integral depende só dos extremos.
  • Critério (sem jargões): para um campo \vec{F}=(P,Q) definido em uma região sem “buracos” (como todo \mathbb{R}^{2}), se \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} então \vec{F} tem uma potencial f tal que \nabla f=\vec{F}. A integral entre dois pontos é então f(\text{fim})-f(\text{início})í.
  • Calcule as derivadas:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x.
Como são iguais, \vec{F} é conservativo (no plano todo).
  • Ache uma função potencial f(x,y) tal que \partial f/\partial x = 2xy. Integrando em x:
f(x,y)=\int 2xy\,dx = x^{2}y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” em relação a x. Agora impõe-se \partial f/\partial y = x^{2} + h'(y) que deve ser igual a Q(x,y)=x^{2}; daí h'(y)=0, logo h é constante. Podemos escolher f(x,y)=x^{2}y (constante irrelevante).
  • Aplicando o teorema fundamental para campos conservativos:
\int_{\text{de }(0,0)\text{ a }(1,1)}\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(1,1)-f(0,0)=1^{2}\cdot 1 - 0 =1.
Observação final: por ser conservativo, o valor da integral entre (0,0) e (1,1) é o mesmo para qualquer caminho que una esses pontos — portanto se houvesse um segundo caminho indicado, a resposta seria a mesma.

Resposta

1

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