Calcule a integral de linha do campo vetorial
entre os pontos
e
, percorrendo os dois caminhos indicados abaixo:
Caminho
: a trajetória composta por duas partes: primeiro do ponto
até
ao longo do eixo
, e depois de
até
paralelamente ao eixo
.
Caminho
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
os pontos inicial e final
e
, e descreve o caminho
que é composto por duas partes:
- parte 1: do ponto
até ao longo do eixo ; - parte 2: de
até ao longo de uma reta vertical (paralela ao eixo ).
O que se pede: calcular a integral de linha
isto é, a circulação do campo
ao longo do caminho
.
Passo 2
Relembrando a definição (passo-a-passo didático): se uma curva
é parametrizada por
,
, então a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de
é
Aqui:
-
é o campo avaliado na curva (substituir em e ); -
é o vetor tangente (derivada da parametrização); - o produto escalar
é só somar componentes correspondentes.
Como
tem duas peças, calculamos a integral em cada peça e somamos (propriedade aditiva da integral).
Passo 3
Parametrização e cálculo na parte 1 (segmento horizontal de
a
).
Escolha a parametrização simples
Então
Avalia-se o campo em
:
Produto escalar:
Integral na parte 1:
Passo 4
Parametrização e cálculo na parte 2 (segmento vertical de
a
).
Escolha a parametrização
Então
Avalia-se o campo em
:
Produto escalar:
Integral na parte 2:
Passo 5
Somando as contribuições das duas partes (aditividade):
Observação didática curta e motivadora: o campo
não é conservativo porque
difere de
; portanto a integral depende do caminho. Por exemplo, se fosse seguido o segmento reto
,
, obtém-se integral
; então caminhos diferentes dão resultados diferentes — por isso é importante sempre parametrizar e integrar.