Calcule a integral de linha do campo vetorial
\vec{F}(x, y)=-y \hat{i}+x \hat{j}
entre os pontos (0,0) e (1,1), percorrendo os dois caminhos indicados abaixo:
Caminho \vec{\alpha}_{2} : a trajetória composta por duas partes: primeiro do ponto (0,0) até (1,0) ao longo do eixo x, e depois de (1,0) até (1,1) paralelamente ao eixo y.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y) = -y\,\hat{i} + x\,\hat{j},
os pontos inicial e final (0,0) e (1,1), e descreve o caminho \vec{\alpha}_2 que é composto por duas partes:
  • parte 1: do ponto (0,0) até (1,0) ao longo do eixo x;
  • parte 2: de (1,0) até (1,1) ao longo de uma reta vertical (paralela ao eixo y).
O que se pede: calcular a integral de linha
\int_{\vec{\alpha}_2} \vec{F}\cdot d\vec{r},
isto é, a circulação do campo \vec{F} ao longo do caminho \vec{\alpha}_2.

Passo 2

Relembrando a definição (passo-a-passo didático): se uma curva C é parametrizada por \vec{r}(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], então a integral de linha de um campo vetorial \vec{F}=(P,Q) ao longo de C é
\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_a^b \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Aqui:
  • \vec{F}(\vec{r}(t)) é o campo avaliado na curva (substituir x(t),y(t) em P e Q);
  • \vec{r}\,'(t)=(x'(t),y'(t)) é o vetor tangente (derivada da parametrização);
  • o produto escalar \cdot é só somar componentes correspondentes.
Como \vec{\alpha}_2 tem duas peças, calculamos a integral em cada peça e somamos (propriedade aditiva da integral).

Passo 3

Parametrização e cálculo na parte 1 (segmento horizontal de (0,0) a (1,0)).
Escolha a parametrização simples
\vec{r}_1(t)=(t,0),\qquad t\in[0,1].
Então
\vec{r}_1'(t)=(1,0).
Avalia-se o campo em \vec{r}_1(t):
\vec{F}(\vec{r}_1(t)) = -y\,\hat{i}+x\,\hat{j} = -0\,\hat{i} + t\,\hat{j} = (0,t).
Produto escalar:
\vec{F}(\vec{r}_1(t))\cdot\vec{r}_1'(t) = (0,t)\cdot(1,0) = 0\cdot1 + t\cdot0 = 0.
Integral na parte 1:
\int_{\text{parte 1}} \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_0^1 0\,dt = 0.

Passo 4

Parametrização e cálculo na parte 2 (segmento vertical de (1,0) a (1,1)).
Escolha a parametrização
\vec{r}_2(s)=(1,s),\qquad s\in[0,1].
Então
\vec{r}_2'(s)=(0,1).
Avalia-se o campo em \vec{r}_2(s):
\vec{F}(\vec{r}_2(s)) = -y\,\hat{i}+x\,\hat{j} = -s\,\hat{i} + 1\,\hat{j} = (-s,1).
Produto escalar:
\vec{F}(\vec{r}_2(s))\cdot\vec{r}_2'(s) = (-s,1)\cdot(0,1) = -s\cdot0 + 1\cdot1 = 1.
Integral na parte 2:
\int_{\text{parte 2}} \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_0^1 1\,ds = 1.

Passo 5

Somando as contribuições das duas partes (aditividade):
\int_{\vec{\alpha}_2} \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_{\text{parte 1}} \vec{F}\cdot d\vec{r} + \int_{\text{parte 2}} \vec{F}\cdot d\vec{r} = 0 + 1 = 1.
Observação didática curta e motivadora: o campo \vec{F}=(-y,x) não é conservativo porque \partial P/\partial y = -1 difere de \partial Q/\partial x = 1; portanto a integral depende do caminho. Por exemplo, se fosse seguido o segmento reto \vec{r}(t)=(t,t), t\in[0,1], obtém-se integral 0; então caminhos diferentes dão resultados diferentes — por isso é importante sempre parametrizar e integrar.

Resposta

1

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