Um recenseador bate na porta de uma casa, e uma mulher o atende. Então, o seguinte diálogo se desenrola:
Recenseador: “Quantos filhos a senhora tem, e qual a idade deles?”
Mulher: “Eu tenho três filhas, a idade delas consiste de números inteiros, e o produto das idades é 36.”
Recenseador: “Esta informação não é suficiente.”
Mulher: “Eu poderia te dizer a soma das idades delas, mas mesmo assim você ainda não saberia as idades ao certo.”
Recenseador: “Eu gostaria que a senhora me desse mais informações.”
Mulher: “A mais velha das três toca piano.”
Recenseador: “Ok, já sei as idades de suas três filhas!”
Quais são as idades das três filhas?

Passo 1

O enunciado diz que há três filhas com idades inteiras positivas cujo produto é 36. Mesmo sabendo isso, o recenseador não consegue determinar as idades porque existem várias triplas com esse produto. A seguir ele saberia a soma e ainda assim ficaria em dúvida. Só depois que a mulher diz que a mais velha é única (toca piano) é que ele conclui. Vamos usar fatoração de inteiros e raciocínio lógico para encontrar a solução única.

Passo 2

Listamos todas as triplas (a,b,c) com 1 \le a \le b \le c e a\cdot b\cdot c = 36, e calculamos a soma S = a+b+c:
\begin{aligned} (1,1,36)&\mapsto S=38\\\ (1,2,18)&\mapsto S=21\\\ (1,3,12)&\mapsto S=16\\\ (1,4,9)&\mapsto S=14\\\ (1,6,6)&\mapsto S=13\\\ (2,2,9)&\mapsto S=13\\\ (2,3,6)&\mapsto S=11\\\ (3,3,4)&\mapsto S=10 \end{aligned}

Passo 3

O recenseador fica em dúvida mesmo sabendo a soma, portanto a soma das idades deve ser ambígua entre pelo menos duas triplas. Observamos que somente a soma 13 aparece em duas triplas diferentes: (1,6,6) e (2,2,9).

Passo 4

A informação de que há uma filha “mais velha” única descarta o caso (1,6,6), pois aí as duas mais velhas teriam a mesma idade. Logo, a única possibilidade é (2,2,9).

Resposta

As idades das três filhas são 2, 2 e 9 anos.

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