Em um recipiente de 10 L são misturados 3 L de \mathrm{O}_{2(\mathrm{~g})}, a 37^{\circ} \mathrm{C} e 4 atm , e 5 L de \mathrm{N}_{2(\mathrm{~g})}, a 77^{\circ} \mathrm{C} e 2 atm . Determine a pressão parcial de cada gás e pressão total da mistura, a 27^{\circ} \mathrm{C}, considerando comportamento ideal. \mathrm{R} .: p \mathbf{O}_{\mathbf{2}(\mathrm{g})} \mathbf{= 1 , 1 6} \mathbf{a t m} ; \mathbf{p} \mathbf{N}_{\mathbf{2}(\mathrm{g})} \mathbf{= 0 , 8 6} \mathbf{a t m} ; \mathbf{p}_{\text {Total }} \boldsymbol{=} \mathbf{2 , 0 2} \mathbf{a t m}.

Passo 1

O enunciado diz que, num recipiente de 10\\ \mathrm{L}, são misturados dois volumes de gases nas condições indicadas:
  • \mathrm{O}_{2(\mathrm{g})}: \;V_{1}=3\\ \mathrm{L}, \;T_{1}=37^\circ\mathrm{C}, \;p_{1}=4{,}0\\ \mathrm{atm}.
  • \mathrm{N}_{2(\mathrm{g})}: \;V_{2}=5\\ \mathrm{L}, \;T_{2}=77^\circ\mathrm{C}, \;p_{2}=2{,}0\\ \mathrm{atm}.
Pede-se: a pressão parcial de cada gás e a pressão total da mistura quando a mistura estiver a 27^\circ\mathrm{C} no volume final de 10\\ \mathrm{L}.
Informações relevantes extraídas do enunciado: volumes iniciais e condições p,T de cada gás antes da mistura; volume final onde ficaram os gases é V_{\text{final}}=10\\ \mathrm{L}; comportamento ideal é assumido (gás ideal).

Passo 2

Conceito e ideia do método (aula curta e prática). Vou usar a Lei dos Gases Ideais e a conservação de mols: cada porção de gás inicialmente tem um número de mols que não se altera ao ser transferida para o recipiente comum (se não há reação química). A Lei dos Gases Ideais é
pV=nRT,
onde p é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante universal dos gases e T a temperatura em kelvin. Explico as variáveis: p em atm, V em L, n em mol, R em \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} e T em K. Vou calcular os mols de cada gás nas condições iniciais e depois determinar a pressão parcial de cada um nas condições finais usando novamente p=nRT/V. Alternativa mais direta (que usarei porque é mais rápida na prova) é obter diretamente a pressão final de cada gás pela relação
p_{\text{final},i}=p_{i,\text{inicial}}\cdot\frac{V_{i}}{V_{\text{final}}}\cdot\frac{T_{\text{final}}}{T_{i,\text{inicial}}},
que vem diretamente de rearranjar a Lei dos Gases Ideais (vou demonstrar no próximo passo).

Passo 3

Demonstração da fórmula usada (passo-a-passo algébrico). Começamos com a Lei dos Gases Ideais para o gás i na condição inicial e final. Inicialmente:
p_{i,\text{inicial}}V_{i}=n_{i}R T_{i,\text{inicial}}.
Depois de transferido para o recipiente final (mesmo número de mols n_i), a pressão parcial na nova temperatura e volume é
p_{i,\text{final}}V_{\text{final}}=n_{i}R T_{\text{final}}.
Isolando n_i da primeira equação e substituindo na segunda:
n_{i}=\frac{p_{i,\text{inicial}}V_{i}}{R T_{i,\text{inicial}}}
\Rightarrow p_{i,\text{final}}V_{\text{final}}=\frac{p_{i,\text{inicial}}V_{i}}{R T_{i,\text{inicial}}}\cdot R T_{\text{final}}.
Os R cancelam e obtemos a fórmula direta:
p_{i,\text{final}}=p_{i,\text{inicial}}\cdot\frac{V_{i}}{V_{\text{final}}}\cdot\frac{T_{\text{final}}}{T_{i,\text{inicial}}}.
Essa fórmula é ótima na prova porque evita calcular mols separadamente e faz pouca conta.

Passo 4

Converter as temperaturas para kelvin (passo importantíssimo — sempre que usar a Lei dos Gases Ideais as temperaturas têm que estar em kelvin):
A conversão é \;T(\mathrm{K})=T(^{\circ}\mathrm{C})+273{,}15. Assim:
T_{1}(\mathrm{O}_2)=37^\circ\mathrm{C}=37+273{,}15=310{,}15\\ \mathrm{K},
T_{2}(\mathrm{N}_2)=77^\circ\mathrm{C}=77+273{,}15=350{,}15\\ \mathrm{K},
T_{\text{final}}=27^\circ\mathrm{C}=27+273{,}15=300{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Cálculo da pressão parcial de \mathrm{O}_{2} usando a fórmula direta. Aplico
p_{\mathrm{O}_2,\text{final}}=p_{1}\cdot\frac{V_{1}}{V_{\text{final}}}\cdot\frac{T_{\text{final}}}{T_{1}}.
Substituindo números:
p_{\mathrm{O}_2,\text{final}}=4{,}0\\ \mathrm{atm}\cdot\frac{3\\ \mathrm{L}}{10\\ \mathrm{L}}\cdot\frac{300{,}15\\ \mathrm{K}}{310{,}15\\ \mathrm{K}}.
Calcule passo a passo: \frac{3}{10}=0{,}3 e \frac{300{,}15}{310{,}15}\approx0{,}96774. Então
p_{\mathrm{O}_2,\text{final}}=4{,}0\cdot0{,}3\cdot0{,}96774=1{,}16129\\ \mathrm{atm}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais, conforme o gabarito pedido):
p_{\mathrm{O}_2,\text{final}}\approx1{,}16\\ \mathrm{atm}.

Passo 6

Cálculo da pressão parcial de \mathrm{N}_{2} com a mesma fórmula:
p_{\mathrm{N}_2,\text{final}}=p_{2}\cdot\frac{V_{2}}{V_{\text{final}}}\cdot\frac{T_{\text{final}}}{T_{2}}.
Substituindo:
p_{\mathrm{N}_2,\text{final}}=2{,}0\\ \mathrm{atm}\cdot\frac{5\\ \mathrm{L}}{10\\ \mathrm{L}}\cdot\frac{300{,}15\\ \mathrm{K}}{350{,}15\\ \mathrm{K}}.
Calcule: \frac{5}{10}=0{,}5 e \frac{300{,}15}{350{,}15}\approx0{,}85711. Então
p_{\mathrm{N}_2,\text{final}}=2{,}0\cdot0{,}5\cdot0{,}85711=0{,}85711\\ \mathrm{atm}.
Arredondando:
p_{\mathrm{N}_2,\text{final}}\approx0{,}86\\ \mathrm{atm}.

Passo 7

Cálculo da pressão total e justificativa (Lei de Dalton). A pressão total de uma mistura de gases ideais é a soma das pressões parciais:
p_{\text{total}}=p_{\mathrm{O}_2,\text{final}}+p_{\mathrm{N}_2,\text{final}}.
Somando os valores calculados:
p_{\text{total}}=1{,}16129+0{,}85711=2{,}01840\\ \mathrm{atm}.
Arredondando:
p_{\text{total}}\approx2{,}02\\ \mathrm{atm}.

Passo 8

Checagem alternativa rápida (opcional mas boa para confiança): calcular os mols usando n=\dfrac{pV}{RT} para cada gás nas condições iniciais e depois aplicar p=nRT/V_{\text{final}} dá os mesmos valores — a fórmula direta que usei antes é apenas a versão algébrica compacta deste procedimento. Isso confirma que os resultados estão corretos.

Resposta

p_{\mathrm{O}_{2(\mathrm{g})}}=1{,}16\\ \mathrm{atm}
p_{\mathrm{N}_{2(\mathrm{g})}}=0{,}86\\ \mathrm{atm}
p_{\text{Total}}=2{,}02\\ \mathrm{atm}

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