Calcule o calor necessário para manter constante, em 27^{\circ} \mathrm{C}, a temperatura de 1,0 \mathrm{~mol} de um gás ideal, nas seguintes expansões, até duplicar o seu volume, sabendo que a pressão final é de 1,0atm: a) irreversível, contra uma pressão externa constante de 1,0atm, b) reversível. R.: a) \mathrm{Q}=1,25 \mathrm{~kJ}; b) \mathrm{Q}=1,73 \mathrm{~kJ}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pede-se o calor necessário para manter a temperatura constante em 27^\circ\mathrm{C} de 1,0 mol de um gás ideal quando o volume dobra, em dois processos diferentes:
    a) expansão irreversível contra pressão externa constante igual a 1,0\\ \mathrm{atm};
    b) expansão reversível (isotérmica e reversível) do mesmo estado inicial até duplicar o volume.
  • Dados relevantes: n = 1,0\\ (\text{mol}),\qquad T = 27^\circ\mathrm{C} = 300\\ \mathrm{K},
V_f = 2V_i\quad(\text{o volume final é o dobro do inicial}),é
P_f = 1,0\\ \mathrm{atm}\quad(\text{é dada a pressão final}),éã
P_\text{ext}=1,0\\ \mathrm{atm}\quad(\text{no caso irreversível a pressão externa é }1,0\\ \mathrm{atm}).íãé
  • Perguntas concretas:
    a) Calcular Q para a expansão irreversível contra P_\text{ext}=1,0\\ \mathrm{atm}.
    b) Calcular Q para a expansão reversível isotérmica de V_i para 2V_i.

Passo 2

Conceitos físicos e convenções que vamos usar (explicação didática):
  • Primeira Lei da Termodinâmica (convenção aqui): a variação da energia interna \Delta U é a diferença entre o calor recebido pelo sistema Q e o trabalho realizado pelo sistema W: \Delta U = Q - W.Aqui W é o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás expande).
  • Para um gás ideal mono ou poliatómico ideal (independente do tipo), a energia interna depende apenas da temperatura T. Logo, para um processo isotérmico (temperatura constante), \Delta U = 0.Substituindo na primeira lei: 0 = Q - W \quad\Rightarrow\quad Q = W.Ou seja, todo o calor fornecido num processo isotérmico de gás ideal é usado para realizar trabalho.
  • Portanto, nossa missão é calcular o trabalho W feito pelo gás nas duas situações. Depois Q=W.

Passo 3

Determinar a pressão inicial P_i e uma expressão útil usando a equação dos gases ideais:
  • Como o processo é isotérmico, aplicando a equação dos gases ideais em início e fim: P_i V_i = nRT,\qquad P_f V_f = nRT.Igualando nRT e usando V_f=2V_i e P_f=1,0\\ \mathrm{atm}, obtemos P_i V_i = P_f V_f = P_f (2V_i) \quad\Rightarrow\quad P_i = 2P_f.Logo, com P_f=1,0\\ \mathrm{atm}, P_i = 2,0\\ \mathrm{atm}.
  • Também podemos expressar V_i em função de nRT e P_i: V_i=\frac{nRT}{P_i}.Vamos usar essas relações para obter W sem precisar encontrar V_i numericamente em \mathrm{m}^3 (isso evita conversões de atm para Pa).

Passo 4

Cálculo do calor (trabalho) no caso (a) — expansão irreversível contra pressão externa constante:
  • Para uma expansão contra pressão externa constante P_\text{ext}, o trabalho realizado pelo gás é W_\text{irrev}=\int_{V_i}^{V_f} P_\text{ext}\,dV = P_\text{ext}\,(V_f-V_i).Como V_f=2V_i, tem-se V_f-V_i=V_i, então W_\text{irrev}=P_\text{ext}\,V_i.
  • Substituindo V_i=\dfrac{nRT}{P_i} e usando P_\text{ext}=P_f e P_i=2P_f, obtemos W_\text{irrev}=P_f\cdot\frac{nRT}{P_i}=P_f\cdot\frac{nRT}{2P_f}=\frac{nRT}{2}.Portanto Q_\text{irrev}=W_\text{irrev}=\frac{nRT}{2}.
  • Agora calculamos numericamente. Usamos R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}, n=1,0 e T=300\\ \mathrm{K}: nRT = 1,0\cdot 8,314\cdot 300 = 2494,2\\ \mathrm{J}.Metade disso: Q_\text{irrev}=\frac{2494,2}{2} = 1247,1\\ \mathrm{J}\approx 1,25\\ \mathrm{kJ}.(Arredondando a duas casas significativas: 1,25\\ \mathrm{kJ}.)

Passo 5

Cálculo do calor (trabalho) no caso (b) — expansão reversível isotérmica:
  • Para expansão reversível isotérmica do gás ideal, a pressão interna do gás é sempre P(V)=\dfrac{nRT}{V}. O trabalho realizado pelo gás é W_\text{rev}=\int_{V_i}^{V_f} P(V)\,dV = \int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}\,dV = nRT\int_{V_i}^{V_f}\frac{dV}{V}.Integrando: W_\text{rev}=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Como V_f/V_i=2, Q_\text{rev}=W_\text{rev}=nRT\ln 2.
  • Substituindo valores numéricos (já temos nRT=2494,2\\ \mathrm{J} do passo anterior) e \ln 2\approx 0,693147: Q_\text{rev}=2494,2\cdot 0,693147 \approx 1728,0\\ \mathrm{J}\approx 1,73\\ \mathrm{kJ}.(Arredondando: 1,73\\ \mathrm{kJ}.)

Passo 6

Comentário físico rápido (motivação e interpretação, para você se sentir confiante):
  • Faz sentido que Q_\text{rev}>Q_\text{irrev}: na expansão reversível o gás realiza mais trabalho porque durante todo o processo a pressão do gás se ajusta infinitesimalmente para empurrar contra uma pressão ligeiramente menor; por isso é necessário fornecer mais calor para manter a temperatura constante.
  • No caso irreversível contra P_\text{ext}=P_f (uma “expansão brusca” até equilibrar em P_f), o trabalho realizado é menor e, consequentemente, o calor necessário também é menor.

Resposta

a) Q=1,25\\ \mathrm{kJ}
b) Q=1,73\\ \mathrm{kJ}

Exercícios relacionados