Questão 01 - Os dados a seguir fornecem a pressão de vapor do alumínio líquido em função da temperatura:
T / \mathrm{K} 1557 1760 1908 2022 2220 2329
P / torr 1 10 40 100 400 760
Usando um procedimento de mínimos quadrados lineares (no Excel ou Software similar), encontre a variação de entalpia de vaporização do alumínio.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a variação de entalpia de vaporização do alumínio usando um ajuste por mínimos quadrados lineares sobre os dados abaixo. Dados fornecidos:
\begin{array}{l|llllll} T\;/\;\mathrm{K} & 1557 & 1760 & 1908 & 2022 & 2220 & 2329\\hline P\;/\;\mathrm{torr} & 1 & 10 & 40 & 100 & 400 & 760 \end{array}
Pergunta explícita: encontrar \Delta H_{\text{vap}} do alumínio a partir desses dados, usando ajuste linear por mínimos quadrados.

Passo 2

Por que podemos fazer um ajuste linear aqui? A relação de Clausius–Clapeyron, assumindo entalpia de vaporização aproximadamente constante no intervalo, dá a forma:
\ln P = -\frac{\Delta H_{\text{vap}}}{R}\cdot\frac{1}{T} + C,
onde:
  • \ln P é o logaritmo natural da pressão (qualquer unidade consistente — torr, Pa — serve, pois só muda o intercepto, não a inclinação);
  • T é a temperatura em kelvin;
  • R é a constante dos gases ideais ( R\approx 8{,}3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}});
  • C é uma constante (intercepto).
    Assim, se definirmos x=\dfrac{1}{T} e y=\ln P, temos uma relação linear y = m x + b com
m = -\frac{\Delta H_{\text{vap}}}{R}.
Portanto, basta ajustar uma reta y=m x + b por mínimos quadrados aos pares (x_i,y_i) e extrair \Delta H_{\text{vap}} = -mR.

Passo 3

Transformo os dados em x_i=1/T_i e y_i=\ln P_i. Calculei (valores mostrados com 6–9 dígitos significativos):
\begin{array}{c|cccccc} i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\hline T_i\;/\mathrm{K} & 1557 & 1760 & 1908 & 2022 & 2220 & 2329\\\ x_i=\dfrac{1}{T_i}\;(\mathrm{K^{-1}}) & 0{,}000642338 & 0{,}000568182 & 0{,}000524476 & 0{,}000494574 & 0{,}000450450 & 0{,}000429323\\\ P_i\;/\mathrm{torr} & 1 & 10 & 40 & 100 & 400 & 760\\\ y_i=\ln P_i & 0 & 2{,}302585 & 3{,}688879 & 4{,}605170 & 5{,}991465 & 6{,}633318 \end{array}

Passo 4

Calculo as somas necessárias para mínimos quadrados (número de pontos n=6):
\begin{aligned} \sum x_i &= 0{,}003109343\quad(\text{somando os }x_i)\\[4pt] \sum y_i &= 23{,}22141771\quad(\text{somando os }y_i)\\[4pt] \sum x_i^2 &\approx 1{,}6424\times 10^{-6}\\[4pt] \sum x_i y_i &\approx 0{,}011065825 \end{aligned}
(essas somas foram obtidas somando término a término os valores do passo anterior; mantive precisão suficiente para o ajuste.)]

Passo 5

Fórmula do coeficiente angular m e do intercepto b no ajuste por mínimos quadrados:
m=\frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}, \qquad b=\frac{\sum y_i - m\sum x_i}{n}.
Substituindo os números:
\begin{aligned} n\sum x_i y_i &\approx 6\cdot 0{,}011065825 = 0{,}06639495,\\[4pt] (\sum x_i)(\sum y_i) &\approx 0{,}003109343\cdot 23{,}22141771 \approx 0{,}07220342,\\[4pt] n\sum x_i^2 &\approx 6\cdot 1{,}6424\times10^{-6} = 9{,}8544\times10^{-6},\\[4pt] (\sum x_i)^2 &\approx (0{,}003109343)^2 \approx 9{,}66799\times10^{-6}. \end{aligned}
Logo o numerador e denominador para m são:
\begin{aligned} \text{num} &= 0{,}06639495 - 0{,}07220342 \approx -0{,}00580847,\\[4pt] \text{den} &= 9{,}8544\times10^{-6} - 9{,}66799\times10^{-6} \approx 1{,}86406\times10^{-7}. \end{aligned}
Portanto
m \approx \frac{-0{,}00580847}{1{,}86406\times10^{-7}} \approx -3{,}1153\times10^{4}.]

Passo 6

Relação entre a inclinação e \Delta H_{\text{vap}}:
m = -\frac{\Delta H_{\text{vap}}}{R}\quad\Longrightarrow\quad \Delta H_{\text{vap}} = -m\,R.
Usando R=8{,}3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} e m\approx -3{,}1153\times10^{4}:
\Delta H_{\text{vap}} \approx -(-3{,}1153\times10^{4})\cdot 8{,}3145 \approx 3{,}1153\times10^{4}\cdot 8{,}3145 \approx 2{,}590\times10^{5}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Convertendo para kilojoule por mol:
\Delta H_{\text{vap}} \approx 259{,}0\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Passo 7

Interpretação e observação prática: a aproximação supõe \Delta H_{\text{vap}} constante no intervalo de temperatura usado e usa \ln P com pressões em torr (qualquer unidade consistente de pressão serve). O valor obtido é da ordem de 2{,}6\times10^{5}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} (≈ 259\\ \mathrm{kJ/mol}). Se você refizer o ajuste num software (Excel, Python, etc.) obterá números muito próximos; pequenas diferenças vêm da precisão nas somas e arredondamentos. Força aí — você já tem a técnica: transformar, ajustar lnP vs 1/T, pegar a inclinação e multiplicar por -R.

Resposta

\Delta H_{\text{vap}} \approx 2{,}59\times10^{5}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} = 259{,}0\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}

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