Questão 01 - Os dados a seguir fornecem a pressão de vapor do alumínio líquido em função da temperatura:
1557
1760
1908
2022
2220
2329
torr
1
10
40
100
400
760
Usando um procedimento de mínimos quadrados lineares (no Excel ou Software similar), encontre a variação de entalpia de vaporização do alumínio.
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1557 | 1760 | 1908 | 2022 | 2220 | 2329 |
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1 | 10 | 40 | 100 | 400 | 760 |
Passo 1
O enunciado pede para estimar a variação de entalpia de vaporização do alumínio usando um ajuste por mínimos quadrados lineares sobre os dados abaixo. Dados fornecidos:
Pergunta explícita: encontrar
do alumínio a partir desses dados, usando ajuste linear por mínimos quadrados.
Passo 2
Por que podemos fazer um ajuste linear aqui? A relação de Clausius–Clapeyron, assumindo entalpia de vaporização aproximadamente constante no intervalo, dá a forma:
onde:
-
é o logaritmo natural da pressão (qualquer unidade consistente — torr, Pa — serve, pois só muda o intercepto, não a inclinação); -
é a temperatura em kelvin; -
é a constante dos gases ideais ( ); -
é uma constante (intercepto).
Assim, se definirmose , temos uma relação linear com
Portanto, basta ajustar uma reta
por mínimos quadrados aos pares
e extrair
.
Passo 3
Transformo os dados em
e
. Calculei (valores mostrados com 6–9 dígitos significativos):
Passo 4
Calculo as somas necessárias para mínimos quadrados (número de pontos
):
(essas somas foram obtidas somando término a término os valores do passo anterior; mantive precisão suficiente para o ajuste.)]
Passo 5
Fórmula do coeficiente angular
e do intercepto
no ajuste por mínimos quadrados:
Substituindo os números:
Logo o numerador e denominador para
são:
Portanto
Passo 6
Relação entre a inclinação e
:
Usando
e
:
Convertendo para kilojoule por mol:
Passo 7
Interpretação e observação prática: a aproximação supõe
constante no intervalo de temperatura usado e usa
com pressões em torr (qualquer unidade consistente de pressão serve). O valor obtido é da ordem de
(≈
). Se você refizer o ajuste num software (Excel, Python, etc.) obterá números muito próximos; pequenas diferenças vêm da precisão nas somas e arredondamentos. Força aí — você já tem a técnica: transformar, ajustar lnP vs 1/T, pegar a inclinação e multiplicar por
.