Um recipiente cilíndrico possui uma altura de
e é feito de um material com coeficiente
. Você enche o recipiente de um líquido com coeficiente
até uma altura de
. Esta configuração é feita quando a temperatura do ambiente é de
. Em que temperatura, em Celsius, o líquido começará a transbordar do recipiente?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um recipiente cilíndrico e um líquido que está dentro dele. Queremos descobrir em que temperatura o líquido vai começar a transbordar. Para isso, vamos usar o conteúdo de expansão térmica, que nos ajuda a entender como materiais se expandem ou contraem quando a temperatura muda. Precisaremos das fórmulas de expansão linear para o recipiente e de expansão volumétrica para o líquido.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as medidas que temos:
- Altura inicial do recipiente:
- Coeficiente de expansão linear do recipiente:
- Altura inicial do líquido:
- Coeficiente de expansão volumétrica do líquido:
- Temperatura inicial:
Queremos encontrar a temperatura
na qual o líquido vai transbordar, ou seja, quando a altura do líquido igualar a altura do recipiente após a expansão.
Passo 3
Vamos considerar como cada parte se expande com a temperatura:
-
Expansão do recipiente: Como o recipiente é cilíndrico, sua expansão afeta a altura. A fórmula para a expansão linear é:Onde
. A nova altura do recipiente será: -
Expansão do líquido: O líquido sofre expansão volumétrica, mas como estamos considerando um cilindro, a altura do líquido também muda. A relação entre a expansão volumétrica e a expansão linear em uma direção é:Mas como a área da base do cilindro não muda significativamente com a temperatura (ou seja, consideramos que a expansão ocorre principalmente na altura), podemos relacionar a expansão volumétrica com a expansão linear na altura:Onde
é o coeficiente de expansão linear equivalente, que para expansão volumétrica é aproximadamente .
Passo 4
No entanto, para simplificar, podemos considerar que a expansão volumétrica do líquido resulta em uma expansão linear na altura com:
Mas na prática, para líquidos, usamos diretamente a relação com
para a expansão em todas as direções. Assim, a nova altura do líquido é:
Passo 5
Para que o líquido transborde, a altura do líquido expandido deve ser igual à altura do recipiente expandido:
Substituindo as expressões:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Rearranjando os termos:
Factorando
:
Finalmente, isolando
:
Passo 7
Agora, vamos substituir os valores numéricos:
Substituindo:
Passo 8
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Portanto:
Passo 9
Agora, adicionamos essa variação de temperatura à temperatura inicial para encontrar a temperatura final:
Resposta
O líquido começará a transbordar do recipiente quando a temperatura atingir aproximadamente
.