Um recipiente cilíndrico possui uma altura de 34,6 cm e é feito de um material com coeficiente alpha recipiente =7,2 times 10^-6 ^circ C^-1. Você enche o recipiente de um líquido com coeficiente beta liquido =6,90 times 10^-4 ^circ C^-1 até uma altura de 27,7 cm. Esta configuração é feita quando a temperatura do ambiente é de 27^circ C. Em que temperatura, em Celsius, o líquido começará a transbordar do recipiente?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um recipiente cilíndrico e um líquido que está dentro dele. Queremos descobrir em que temperatura o líquido vai começar a transbordar. Para isso, vamos usar o conteúdo de expansão térmica, que nos ajuda a entender como materiais se expandem ou contraem quando a temperatura muda. Precisaremos das fórmulas de expansão linear para o recipiente e de expansão volumétrica para o líquido.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as medidas que temos:
  • Altura inicial do recipiente: Hrecipiente = 34,6 cm
  • Coeficiente de expansão linear do recipiente: alpharecipiente = 7,2 times 10^-6 , ^circC^-1
  • Altura inicial do líquido: Hlíquido = 27,7 cmí
  • Coeficiente de expansão volumétrica do líquido: betalíquido = 6,90 times 10^-4 , ^circC^-1í
  • Temperatura inicial: T0 = 27^circC
Queremos encontrar a temperatura T na qual o líquido vai transbordar, ou seja, quando a altura do líquido igualar a altura do recipiente após a expansão.

Passo 3

Vamos considerar como cada parte se expande com a temperatura:
  1. Expansão do recipiente: Como o recipiente é cilíndrico, sua expansão afeta a altura. A fórmula para a expansão linear é:
    De
    Onde De.
    A nova altura do recipiente será:
    Hrecipiente' = Hrecipiente + De
  2. Expansão do líquido: O líquido sofre expansão volumétrica, mas como estamos considerando um cilindro, a altura do líquido também muda. A relação entre a expansão volumétrica e a expansão linear em uma direção é:
    Deíí
    Mas como a área da base do cilindro não muda significativamente com a temperatura (ou seja, consideramos que a expansão ocorre principalmente na altura), podemos relacionar a expansão volumétrica com a expansão linear na altura:
    Hlíquido' = Hlíquido times (1 + gamma times Deíí
    Onde gamma é o coeficiente de expansão linear equivalente, que para expansão volumétrica é aproximadamente gamma = betalíquido / 3í.

Passo 4

No entanto, para simplificar, podemos considerar que a expansão volumétrica do líquido resulta em uma expansão linear na altura com:
Hlíquido' = Hlíquido times (1 + betalíquidobetalinear times Deííí
Mas na prática, para líquidos, usamos diretamente a relação com beta para a expansão em todas as direções. Assim, a nova altura do líquido é:
Hlíquido' = Hlíquido times (1 + betalíquido times Deííí

Passo 5

Para que o líquido transborde, a altura do líquido expandido deve ser igual à altura do recipiente expandido:
Hlíquido' = Hrecipiente' í
Substituindo as expressões:
Hlíquido times (1 + betalíquido times Deíí

Passo 6

Agora, vamos resolver para De:
Hlíquido + Hlíquido times betalíquido times Deííí
Rearranjando os termos:
Hlíquido times betalíquido times Deííí
Factorando De:
Deííí
Finalmente, isolando De:
Deííí

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores numéricos:
Hrecipiente = 34,6 cm
Hlíquido = 27,7 cm í
alpharecipiente = 7,2 times 10^-6 , ^circC^-1
betalíquido = 6,90 times 10^-4 , ^circC^-1 í
T0 = 27^circC
Substituindo:
De

Passo 8

Calculando o numerador:
34,6 - 27,7 = 6,9 cm
Calculando o denominador:
27,7 times 6,90 times 10^-4 = 0,019113
34,6 times 7,2 times 10^-6 = 0,000248
0,019113 - 0,000248 = 0,018865
Portanto:
De

Passo 9

Agora, adicionamos essa variação de temperatura à temperatura inicial para encontrar a temperatura final:
T = T0 + De

Resposta

O líquido começará a transbordar do recipiente quando a temperatura atingir aproximadamente 392,7^circ , C.

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