- Um recipiente contém gás nitrogênio (
, massa molar
) a uma temperatura de 300 K . Calcule a velocidade mais provável, a velocidade média e a velocidade quadrática média das moléculas. Respostas
e
, respectivamente.
Passo 1
O enunciado dá um recipiente com gás nitrogênio
à temperatura
e informa a massa molar
. Pede-se calcular:
- a velocidade mais provável das moléculas,
- a velocidade média (valor esperado do módulo da velocidade),
- a velocidade quadrática média (root-mean-square, RMS).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
. -
(convertido para kg/mol, necessário para usar nas unidades SI). - Constante dos gases:
.
As três quantidades pedidas são padrão da distribuição de Maxwell–Boltzmann para velocidades.
Passo 2
Fórmulas que vamos usar (derivadas da distribuição de Maxwell–Boltzmann; aqui só uso as expressões finais e explico o que cada símbolo significa):
- velocidade mais provável:
onde
é a velocidade mais provável,
é a constante dos gases,
é a temperatura absoluta e
é a massa molar em
.
- velocidade média:
onde
é a média do módulo da velocidade. Nota útil:
(fator que vem das constantes na integração da distribuição).
- velocidade quadrática média (RMS):
onde
. Relação com
:
.
Explicação rápida e intuitiva (sem jargão pesado): essas fórmulas nascem porque as moléculas têm uma distribuição estatística de velocidades dependente de
e da massa das moléculas; aumentar
aumenta todas as velocidades, e aumentar a massa reduz as velocidades típicas.
Passo 3
Cálculo da velocidade mais provável
.
Primeiro convertir a massa molar para
:
Agora aplicar a fórmula:
Substituindo
e
:
Dividindo por
:
Tomando a raiz quadrada:
Passo 4
Cálculo da velocidade média
.
Usando a relação com
(mais simples e segura numericamente):
O fator
vale aproximadamente
. Assim:
Se preferir ver direto pela fórmula:
substituindo os valores obtém-se o mesmo resultado numérico acima.
Passo 5
Cálculo da velocidade quadrática média
.
Usando a relação com
:
O fator
vale aproximadamente
. Portanto:
Ou diretamente:
o que dá o mesmo valor numérico.
Passo 6
Interpretação curta e motivadora: a velocidade mais provável é o pico da distribuição (a velocidade que mais moléculas apresentam), a velocidade média é o valor médio do módulo da velocidade e a RMS está ligada à energia cinética média (energia cinética média por molécula
). Para
a
obtemos valores da ordem de algumas centenas de metros por segundo — o que significa que as moléculas estão zanzando rapidamente mesmo à temperatura ambiente. Boa! Tá indo bem — com essas fórmulas você resolve qualquer exercício parecido: converte
pra
, coloca
em K e aplica as expressõez.