1. Um recipiente contém gás nitrogênio ( \mathrm{N}_{2}, massa molar \mathrm{M}=28,01 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ) a uma temperatura de 300 K . Calcule a velocidade mais provável, a velocidade média e a velocidade quadrática média das moléculas. Respostas =422,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, 476,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e 517,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá um recipiente com gás nitrogênio \mathrm{N}_2 à temperatura T=300\\ \mathrm{K} e informa a massa molar M=28{,}01\\ \mathrm{g/mol}. Pede-se calcular:
  • a velocidade mais provável das moléculas,
  • a velocidade média (valor esperado do módulo da velocidade),
  • a velocidade quadrática média (root-mean-square, RMS).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • T=300\\ \mathrm{K}.
  • M=28{,}01\\ \mathrm{g/mol}=0{,}02801\\ \mathrm{kg/mol} (convertido para kg/mol, necessário para usar R nas unidades SI).
  • Constante dos gases: R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
    As três quantidades pedidas são padrão da distribuição de Maxwell–Boltzmann para velocidades.

Passo 2

Fórmulas que vamos usar (derivadas da distribuição de Maxwell–Boltzmann; aqui só uso as expressões finais e explico o que cada símbolo significa):
  • velocidade mais provável:
v_{\text{mp}}=\sqrt{\dfrac{2RT}{M}}
onde v_{\text{mp}} é a velocidade mais provável, R é a constante dos gases, T é a temperatura absoluta e M é a massa molar em \mathrm{kg/mol}.
  • velocidade média:
\bar v=\sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M}}
onde \bar v é a média do módulo da velocidade. Nota útil: \bar v=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\,v_{\text{mp}} (fator que vem das constantes na integração da distribuição).
  • velocidade quadrática média (RMS):
v_{\text{rms}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}
onde v_{\text{rms}}=\sqrt{\langle v^2\rangle}. Relação com v_{\text{mp}}: v_{\text{rms}}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}\,v_{\text{mp}}.
Explicação rápida e intuitiva (sem jargão pesado): essas fórmulas nascem porque as moléculas têm uma distribuição estatística de velocidades dependente de T e da massa das moléculas; aumentar T aumenta todas as velocidades, e aumentar a massa reduz as velocidades típicas.

Passo 3

Cálculo da velocidade mais provável v_{\text{mp}}.
Primeiro convertir a massa molar para \mathrm{kg/mol}:
M=28{,}01\\ \mathrm{g/mol}=0{,}02801\\ \mathrm{kg/mol}.
Agora aplicar a fórmula:
v_{\text{mp}}=\sqrt{\dfrac{2RT}{M}}.
Substituindo R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} e T=300\\ \mathrm{K}:
2RT=2\cdot 8{,}314462618\cdot 300=4988{,}6775708\\ \mathrm{J/mol}.
Dividindo por M:
\dfrac{2RT}{M}=\dfrac{4988{,}6775708}{0{,}02801}\approx 1{,}78103\times 10^{5}\\ (\mathrm{m^2/s^2}).
Tomando a raiz quadrada:
v_{\text{mp}}\approx \sqrt{1{,}78103\times 10^{5}}\approx 422{,}2\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Cálculo da velocidade média \bar v.
Usando a relação com v_{\text{mp}} (mais simples e segura numericamente):
\bar v=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\,v_{\text{mp}}.
O fator \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} vale aproximadamente 1{,}128379167. Assim:
\bar v\approx 1{,}128379167\cdot 422{,}2\\ \mathrm{m/s}\approx 476{,}4\\ \mathrm{m/s}.
Se preferir ver direto pela fórmula:
\bar v=\sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M}},
substituindo os valores obtém-se o mesmo resultado numérico acima.

Passo 5

Cálculo da velocidade quadrática média v_{\text{rms}}.
Usando a relação com v_{\text{mp}}:
v_{\text{rms}}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}\,v_{\text{mp}}.
O fator \sqrt{\dfrac{3}{2}} vale aproximadamente 1{,}224744871. Portanto:
v_{\text{rms}}\approx 1{,}224744871\cdot 422{,}2\\ \mathrm{m/s}\approx 517{,}1\\ \mathrm{m/s}.
Ou diretamente:
v_{\text{rms}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}},
o que dá o mesmo valor numérico.

Passo 6

Interpretação curta e motivadora: a velocidade mais provável é o pico da distribuição (a velocidade que mais moléculas apresentam), a velocidade média é o valor médio do módulo da velocidade e a RMS está ligada à energia cinética média (energia cinética média por molécula \propto v_{\text{rms}}^2). Para \mathrm{N}_2 a 300\\ \mathrm{K} obtemos valores da ordem de algumas centenas de metros por segundo — o que significa que as moléculas estão zanzando rapidamente mesmo à temperatura ambiente. Boa! Tá indo bem — com essas fórmulas você resolve qualquer exercício parecido: converte M pra \mathrm{kg/mol}, coloca T em K e aplica as expressõez.

Resposta

v_{\text{mp}}=422{,}2\\ \mathrm{m/s}
\bar v=476{,}4\\ \mathrm{m/s}
v_{\text{rms}}=517{,}1\\ \mathrm{m/s}

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