Um recipiente esférico de instrumentos para medições submarinas, usado para sondagens e para medir condições da água, feito em aço inox ( rho=8055 kg / m^3; c = 480 J /(kg ^circ C ; k=15 W /(m ^circ C) ) tem um raio de 20 cm e os seus equipamentos eletrônicos internos produzem uma taxa de geração de energia térmica uniforme igual a dotq=48 kW / m^3 durante seu funcionamento. O recipiente trabalha dentro de uma baía na qual a temperatura da água é de 16^circ C e o coeficiente de convecção é de 215 W /(m^2 ^circ C).
b) Determine a temperatura superficial do recipiente em regime permanente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um recipiente esférico feito de aço inox, usado para medições submarinas. Queremos descobrir qual é a temperatura na superfície desse recipiente quando ele está funcionando de maneira estável (ou seja, em regime permanente). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especialmente condução e convecção térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “regime permanente”. Isso quer dizer que a quantidade de calor gerada internamente pelo equipamento eletrônico dentro do recipiente é igual à quantidade de calor que está sendo dissipada para a água ao redor. Em outras palavras, a temperatura não está aumentando nem diminuindo mais; tudo está equilibrado.

Passo 3

Vamos calcular a quantidade total de calor gerada dentro do recipiente. Sabemos que a taxa de geração de energia térmica é de dotq=48 kW/m^3. Para encontrar a potência total gerada, precisamos multiplicar essa taxa pelo volume do recipiente.
Primeiro, calculamos o volume de uma esfera:
V = 43 pi r^3
Onde r é o raio da esfera. Aqui, r = 0,2 m (20 cm convertido para metros).
Substituindo:
V = 43 pi (0,2)^3 = 43 pi (0,008) = 0,03351 m^3
Agora, a potência total gerada:
Q>=rada = dotq times V = 48 times 10^3 W/m^3 times 0,03351 m^3 approx 1.608,48 W

Passo 4

Agora, vamos igualar essa potência gerada à potência dissipada pela superfície do recipiente para a água através da convecção. A fórmula da transferência de calor por convecção é:
Qdissipada = h times A times (Tsuperfície - Tágua) íá
Onde:
- h = 215 W/(m^2 cdot °C) é o coeficiente de convecção.
- A é a área da superfície da esfera.
- Tsuperfícieí é a temperatura que queremos encontrar.
- Tágua = 16°Cá é a temperatura da água.
Primeiro, calculamos a área da esfera:
A = 4 pi r^2 = 4 pi (0,2)^2 = 4 pi (0,04) = 0,50265 m^2

Passo 5

Agora, igualamos as potências:
Q>=rada = Qdissipada
1.608,48 = 215 times 0,50265 times (Tsuperfície - 16) í
Resolvendo para Tsuperfícieí:
1.608,48 = 215 times 0,50265 times (Tsuperfície - 16) í
1.608,48 = 108,05 times (Tsuperfície - 16) í
Tsuperfície - 16 = 1.608,48108,05 í
Tsuperfície - 16 approx 14,88 í
Tsuperfície approx 30,88°C í

Resposta

A temperatura superficial do recipiente em regime permanente é aproximadamente 30,9^circ C.

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