Em um recipiente, temos 120 moléculas de ar. Este recipiente tem uma região com um quarto do volume total. Lembre-se que os estados devem ser contados de maneira que tenham a mesma probabilidade. (a) Qual é a probabilidade de encontrarmos metade das moléculas nessa região? (b) Quanto é a probabilidade da situação mais provável? (c) Calcule a diferença de entropia entre os dois casos.

Passo 1

O enunciado diz que temos N=120 moléculas independentes distribuídas aleatoriamente em duas “regiões”: uma de volume V_{\rm reg}=V/4 (probabilidade p=1/4 para qualquer molécula) e o restante com probabilidade 1-p=3/4. Cada macro-estado em que exatamente k moléculas estão na região tem probabilidade binomial
P(k)=\binom{120}{k}\bigl(\tfrac14\bigr)^{k}\bigl(\tfrac34\bigr)^{120-k}.
Vamos usar essa fórmula para (a) k=60 e (b) achar o k que maximiza P(k). Em (c) vamos calcular a diferença de entropia entre o macro-estado mais provável e o de k=60, usando
S(k)=k_{\rm B}\ln\bigl[\Omega(k)\bigr] \quad\text{com}\quad \Omega(k)=\binom{120}{k}.

Passo 2

Para (a) queremos exatamente metade das moléculas, ou seja k=60. Logo
P(k=60) =\binom{120}{60}\Bigl(\tfrac14\Bigr)^{60}\Bigl(\tfrac34\Bigr)^{60}.

Passo 3

Para (b) o valor de k que maximiza a distribuição binomial é dado aproximadamente por \lfloor (N+1)p\rfloor=\lfloor121/4\rfloor=30. Então o macro-estado mais provável é k=30, e sua probabilidade é
P(k=30) =\binom{120}{30}\Bigl(\tfrac14\Bigr)^{30}\Bigl(\tfrac34\Bigr)^{90}.

Passo 4

Para (c) a entropia de um macro-estado com k moléculas na região é
S(k)=k_{\rm B}\ln\binom{120}{k}.
Queremos
\Delta S =S(30)-S(60) =k_{\rm B}\Bigl[\ln\binom{120}{30}-\ln\binom{120}{60}\Bigr].
Usando Stirling simplificado, chega-se a
\ln\binom{120}{30}-\ln\binom{120}{60} =30\,\ln\!\Bigl(\tfrac{16}{27}\Bigr)
portanto
\Delta S =30\,k_{\rm B}\,\ln\!\Bigl(\tfrac{16}{27}\Bigr)\approx -15{,}7\,k_{\rm B}.

Resposta

(a) \displaystyle P(60)=\binom{120}{60}\bigl(\tfrac14\bigr)^{60}\bigl(\tfrac34\bigr)^{60}.
(b) \displaystyle P_{\max}=P(30)=\binom{120}{30}\bigl(\tfrac14\bigr)^{30}\bigl(\tfrac34\bigr)^{90}.
(c) \displaystyle \Delta S=S(30)-S(60)=30\,k_{\rm B}\ln\!\Bigl(\tfrac{16}{27}\Bigr)\approx -15{,}7\,k_{\rm B}.

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