Em um recipiente, temos 120 moléculas de ar. Este recipiente tem uma região com um quarto do volume total. Lembre-se que os estados devem ser contados de maneira que tenham a mesma probabilidade. (a) Qual é a probabilidade de encontrarmos metade das moléculas nessa região? (b) Quanto é a probabilidade da situação mais provável? (c) Calcule a diferença de entropia entre os dois casos.
Passo 1
O enunciado diz que temos
moléculas independentes distribuídas aleatoriamente em duas “regiões”: uma de volume
(probabilidade
para qualquer molécula) e o restante com probabilidade
. Cada macro-estado em que exatamente
moléculas estão na região tem probabilidade binomial
Vamos usar essa fórmula para (a)
e (b) achar o
que maximiza
. Em (c) vamos calcular a diferença de entropia entre o macro-estado mais provável e o de
, usando
Passo 2
Para (a) queremos exatamente metade das moléculas, ou seja
. Logo
Passo 3
Para (b) o valor de
que maximiza a distribuição binomial é dado aproximadamente por
. Então o macro-estado mais provável é
, e sua probabilidade é
Passo 4
Para (c) a entropia de um macro-estado com
moléculas na região é
Queremos
Usando Stirling simplificado, chega-se a
portanto
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)